Vamos $X = \left\{(x_n):\sum\limits_{n=1}^\infty n|x_n|<\infty\right\}$, $d(x,y) = \sup|x_n - y_n|$. Mostrar que el espacio de $(X,d)$ no es completa. Demostrar que el espacio de $c_0$ es su finalización.
Para la solución, sé que un espacio métrico $(X,d)$ es completo si cada secuencia de Cauchy $(x_n)$ $X$ converge a un punto en $X$, por lo que para la primera parte, necesito encontrar una secuencia de Cauchy que no converge a un punto en $X$.
Para $(x_n) = (1/n^3)_{n=1}^\infty$ y $(y_n) = (1/n^4)_{n=1}^\infty,$ $d(x,y)$ no converge. Por lo tanto $X$ no es completa. Es mi contador de ejemplo de la derecha?
Para la segunda parte, demostrando $c_o$ es su finalización estoy teniendo problemas acerca de qué tipo de enfoque que debo seguir.
