Contar las operaciones binarias en un conjunto con $n$ elementos

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema pero no puedo encontrar ninguna manera de proceder.

Deje que $S$ ser un conjunto teniendo $n$ elementos. ¿Podemos contar el número de operaciones binarias que se pueden definir en un conjunto? ¿Podemos también contar el número de operaciones binarias conmutativas definidas en $S$ ?

Gracias por la ayuda y las sugerencias

Answer 1

Si $A$ y $B$ son dos conjuntos finitos con $|A| = m$ y $|B| = n$ entonces el número de mapas de $A$ a $B$ es $|B|^{|A|} = n^m$ . Esto se debe a que la función debe ser definida en cada uno de $|A|=m$ miembros de $A$ y para cada uno de esos m miembros hay $|B|=n$ valores posibles. Por lo tanto, hay $$\Pi_{i=1}^{m}n=n^m$$ diferentes funciones posibles de $A$ a $B$ .

Si aplicamos esto a los mapas de $S\times S\rightarrow S$ obtenemos $|S|^{|S\times S|}=n^{(n^2)}$ .

Para los mapas conmutativos, requerimos que $(p,q)$ y $(q,p)$ se asignan al mismo valor. Los elementos de $S\times S$ están en $1$ - $1$ correspondencia con las entradas de un cuadrado $n\times n$ matriz. Los mapas conmutativos asignan una entrada del triángulo inferior de esta matriz al mismo valor de la entrada correspondiente de la matriz triangular superior. Por lo tanto, el dominio tendrá una cardinalidad $\frac{n(n+1)}{2}$ y así habrá $n^{(\frac{n(n+1)}{2})}$ mapas conmutativos de $S\times S$ a $S.$