¿Es posible construir un proceso estocástico $B_t$ $B_t$ es un browniano bajo $(\Omega, F, P)$ y $B_t$ es un browniano bajo $(\Omega, F, \hat{P})$? Si no, ¿cómo argumentar que $P=\hat{P}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $(B_t)_{t \geq 0}$ ser un movimiento Browniano en un espacio de probabilidad $(\Omega_1,F_1,P_1)$ y deje $(\Omega_2,F_2,P_2)$ ser arbitraria probabilidad de espacio. Definir un nuevo espacio de probabilidad $(\Omega,F,P)$ $$\Omega := \Omega_1 \times \Omega_2 \qquad F := F_1 \otimes F_2 \qquad P := P_1 \otimes P_2.$$ Si ponemos $$\tilde{B}_t(\omega_1,\omega_2) := B_t(\omega_1) \quad \text{for} \, (\omega_1,\omega_2) \in \Omega_1 \times \Omega_2,$$ then it is not difficult to see that $(\tilde{B}_t)_{t \geq 0}$ is still a Brownian motion on $(\Omega,F,P)$. Since this holds true for any probability space $(\Omega_2,F_2,P_2)$, we can easily construct a Brownian motion on $(\Omega,F,P)$ and $(\Omega,F,\hat{P})$ with $P \neq \hat{P}$.
Nota, sin embargo, que un movimiento Browniano $(B_t)_{t \geq 0}$ $(\Omega,F,P)$ sí determina la restricción de la probabilidad de medida $P|_{F_\infty}$ única; aquí
$$F_{\infty} := \sigma(B_t; t \geq 0)$$
indica el $\sigma$-álgebra generada por $(B_t)_{t \geq 0}$. Esto es, para cualquier espacio de probabilidad $(\Omega,F,\hat{P})$ tal que $(B_t)_{t \geq 0}$ es un movimiento Browniano en $(\Omega,F,\hat{P})$, $\hat{P}(A) = P(A)$ cualquier $A \in F_{\infty}$.
Prueba: Vamos a $P,\hat{P}$ dos medidas de probabilidad en $(\Omega,F)$ tal que $(B_t)_{t \geq 0}$ es un movimiento Browniano en $(\Omega,F,P)$$(\Omega,F,\hat{P})$. Si $A$ es un conjunto de la forma $$A = \bigcap_{j=1}^n \{B_{t_j} \in G_j\} \tag{1}$$ where $t_j \geq 0$ and $G_j \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ are Borel sets, $n \in \mathbb{N}$, entonces
$$\begin{align*} P(A) &= \mathbb{P}(B_{t_1} \in G_1,\ldots,B_{t_n} \in G_n) \\ &= \mu_{(B_{t_1},\ldots,B_{t_n})}(G_1 \times \ldots \times G_n) \\ &= \hat{P}(B_{t_1} \in G_1,\ldots,B_{t_n} \in G_n) \\ &= \hat{P}(A) \end{align*}$$
donde $\mu_{(B_{t_1},\ldots,B_{t_n})}$ denota la distribución de $(B_{t_1},\ldots,B_{t_n})$ (para un movimiento Browniano se sabe que esta distribución es Gaussiana centrada con una cierta matriz de covarianza, que puede ser calculado de forma explícita). Dado que los conjuntos de la forma $(1)$ $\cap$- estable generador de $F_{\infty}$, el teorema de unicidad de las medidas de prueba $P|_{F_{\infty}} = \hat{P}|_{F_{\infty}}$.
