Que $S$ ser una superficie compacta orientable. Un Homeomorfismo $f: S \to S$ induce un isomorfismo $f_{*}: H_1(S) \to H_1(S)$.
¿Cuánto podemos decir lo contrario? ¿Es decir, si se nos da un elemento de $\alpha \in$ $\operatorname{Aut}(H_1(S))$, existe un auto-Homeomorfismo $f$ $S$ (único hasta isotopy o algo) tal que $f_*=\alpha$?
El conjunto de la uno mismo-homeomorphisms de una superficie hasta isotopy se llama el grupo de clase de mapeo de la superficie. De género uno, esto está determinado por la acción de homología, pero de género más alta hay un subgrupo muy grande e interesante del grupo de clase de trazado, llamado el grupo Torelli, que consiste en auto-homeomorphisms induciendo el mapa homología trivial.
La respuesta depende de a qué te refieres por $\mathrm{Aut}(H^1(S))$. Si te refieres lineal general del grupo, entonces la respuesta es no, pero si te refieres a la simpléctica grupo, entonces la respuesta es sí.
Hay una taza de producto de emparejamiento $H^1(S) \times H^1(S) \to H^2(S) \cong \mathbf Z$ que es simpléctica, y cualquier automorphism de la superficie, se conserva este emparejamiento (hasta un signo, si usted no lo requieren para conservar la orientación de $S$). Esta es la única condición: cualquier simpléctica automorphism puede ser realizado por una homeomorphism de la superficie.
Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Mapping_class_group#Torelli_group
Este es un ejemplo sin la suposición de que $S$ es una superficie:
Que $S = S^1 \vee A$ $A$ Dónde está un anillo cerrado. Entonces $H_1(S) = \mathbb Z \oplus \mathbb Z$. Tomar el isomorfismo $\varphi: (a,b) \mapsto (b,a)$.
Un Homeomorfismo $f$induce $\varphi$ tendría que mapa $x$ $S^1$ $f(x) \in A$. $S^1$ Y $A$ no son homeomórficos.
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