Teorema 3.3 (d) Rudin

Question

Esto de Rudin del Principio de Análisis Matemático

• Estoy teniendo problemas para conseguir una imagen intuitiva de esta prueba. Puede usted por favor, muéstrame cómo Rudin llega a la desigualdad de $|s_n -s|< \frac{1}{2} |s|^2 \epsilon$ algebraicamente? Y también una descripción (no espero que extraer, está bien) de lo que se vería en un pictórica?? Supongo que tiene algo que ver con los dos triángulos en la tercera. También señalar si yo interprete la imagen equivocada de alguna manera. Gracias de antemano! Este sitio un protector de la vida.

Answer 1

Esta es una típica mancha de Rudin prueba. El crucial el álgebra es, por supuesto, poniendo las cosas sobre un denominador común. $$\left|\frac 1{s_n} - \frac 1s\right| = \left|\frac{s-s_n}{s_ns}\right| = \frac{|s_n-s|}{|s_n||s|}.\quad (\star)$$ Sabemos que $s_n\to s$, pero, ¿cómo pequeños debemos hacer $|s_n-s|$ con el fin de hacer ($\star$) menor que $\epsilon$? (Este es el juego habitual en los análisis). Queremos mantener a $|s_n|$ de llegar demasiado pequeño (que hacen $1/|s_n|$ muy grande), por lo que Rudin requiere, en primer lugar $|s_n-s|<|s|/2$ (tenemos $m\in\Bbb N$, de modo que esto tiene para $n\ge m$) con el fin de garantizar que $|s_n|>|s|/2$. Así pues, cuando la $n\ge m$, vamos a tener $$\left|\frac 1{s_n} - \frac 1s\right|<\frac{|s_n-s|}{|s|^2/2} = \frac 2{s^2}|s_n-s|.$$

Ahora, dados cualesquiera $\eta>0$, $N\in\Bbb N$ (dependiendo $\eta$, por supuesto), así que $|s_n-s|<\eta$ siempre $n\ge N$. Esto hará que $$\left|\frac 1{s_n} - \frac 1s\right|<\frac2{s^2}\eta.$$ Nuestro objetivo final es tener ($\star$) menos de $\epsilon$, entonces, ¿cómo debemos elegir $\eta$ a de garantía de $\frac2{s^2}\eta\le\epsilon$. Una elección obvia, entonces, es el uso de $\eta = \frac{s^2}2\epsilon$. Finalmente, la elección de $n\ge\max(m,N)$ va a cumplir nuestra meta deseada.

Por cierto, aplaudo su dibujo. Keep it up. Creo que no ayuda demasiado en este particular de la prueba, pero sigue así!

Answer 2

Si estás tratando de resolver esto, puedes traer las fracciones para obtener

$$ \left\lvert \frac{1}{s_n} - \frac{1}{s} \right\rvert = \left\lvert \frac{s - s_n}{s_ns} \right\rvert = \frac{1}{|s_n s|} |s_n - s|. $$

Ahora sabemos que $|s_n - s| < \varepsilon$ si $n$ es lo suficientemente grande, ya que es lo que significa para $s_n \to s$. Entonces, ¿qué sería útil si pudiéramos enlazado $|s_n s|^{-1}$ por una constante $M$ para obtener

$$ \left\lvert \frac{1}{s_n} - \frac{1}{s} \right\rvert = \frac{1}{|s_n s|} |s_n - s| \le M |s_n - s| $$

y, a continuación, utilizar la habitual truco de dejar a $|s_n - s| < \varepsilon M^{-1}$ conseguir $\varepsilon$ a aparecer en el lado derecho.

A continuación podemos observar que

$$ \frac{1}{|s_n s|} \le M \iff |s_n| \ge \frac{1}{|s|M}. \tag{$*$} $$

Es decir, necesitamos enlazado $|s_n|$ $0$ en la cantidad adecuada. Si estamos obligados $|s_n| \ge C > 0$ $s_n \to s$ $|s| \ge C$ que nos dice que $0 < C \le |s|$. Por otro lado, no podemos tomar a $C = |s|$ porque, por ejemplo, $s_n = 1 - 2^{-n} \to s = 1$ pero $|s_n| < |s|$ todos los $n$. Por lo tanto,$0 < C < |s|$.

Ahora resulta razonable tomar $C$ justo en el medio de la $0$$|s|$, es decir,$C = \frac12 |s|$. Nos damos cuenta de que para suficientemente grande $n$ efectivamente tenemos el $|s_n| \ge \frac12 |s|$ desde el si $|s_n - s| \le \frac12 |s|$$|s_n| \ge \frac12 |s|$. La imagen aquí es que si se dibuja un círculo de radio $\frac12 |s|$$s$, la más cercana al círculo se a $0$ está en la línea de$0$$s$. Específicamente, se cruza a mitad de camino en $\frac12 s$. Por lo tanto, si $s_n$ es en ese círculo, a continuación,$|s_n| \ge \frac12 |s|$.

Ahora por fin podemos resolver para$M$$(*)$:

$$ \frac12 |s| = \frac{1}{|s|M} \implies M = \frac{2}{|s|^2}. $$

Y, finalmente, tomar $n$ lo suficientemente grande como para que

$$ |s_n - s| < \varepsilon/M = \frac{1}{2}|s|^2\varepsilon. $$