¿SLLN con Bernoullis dependiente implica convergencia de la suma con medios condicionales?

Question

Supongamos que tengo $n$ bernoulli (valores de cero o uno), posiblemente dependiente y nonidentically distribuido, variables aleatorias (como la generalización de la modelo binomial), donde una ley de los grandes números tiene. Deje $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ y

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_n-ES_n}{n}=0\text{ a.s.}$$

Mi pregunta es, ¿esto implica una función como $$F(n)=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{\lfloor ES_n \rfloor}(ES_n-i)\Pr(S_n=i)+\frac{1}{n}\sum_{i=\lfloor ES_n \rfloor+1}^n(i-ES_n)\Pr(S_n=i) $$ también converge a cero, casi con toda seguridad?

Mi trabajo: $$nF(n) = \Pr(S_n\leq ES_n)(ES_n - E(S_n \mid S_n\leq ES_n)) + (1-\Pr(S_n \leq ES_n))(E(S_n\mid S_n >ES_n )-ES_n) $$

La sustitución de $\Pr(S_n\leq ES_n)$$p_n$,

$$nF(n) = 2p_n ES_n - ES_n - p_nE(S_n \mid S_n\leq ES_n) + (1-p_n)E(S_n \mid S_n> ES_n) $$

$$nF(n) = 2p_n ES_n - 2p_nE(S_n \mid S_n\leq ES_n).$$

Aquí, estoy pegado. Creo que puedo utilizar la torre de la propiedad para mostrar el $EF(n)=0$, pero me gustaría mostrarles $F(n)\rightarrow 0$$n\rightarrow \infty$.s.

Answer 1

Sí. De hecho, sólo tienen que asumir la $(S_n-E[S_n])/n$ converge a $0$ en la probabilidad (casi seguro de que la convergencia no es necesario). Es muy útil que, en su caso, $0 \leq S_n \leq n$ todos los $n$.

Usted está tratando de mostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty} E\left[\left|\frac{S_n-E[S_n]}{n}\right|\right]=0$. Definir $A_n = |S_n-E[S_n]|/n$. Una sugerencia es arreglar $\epsilon>0$ y considerar la posibilidad de $E[A_n] = E[A_n|A_n\leq \epsilon]Pr[A_n\leq \epsilon] + E[A_n|A_n>\epsilon]Pr[A_n>\epsilon]$.

Más generalmente, si $\{Z_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de variables aleatorias que satisface $Z_n\rightarrow 0$ en la probabilidad, y si el $Z_n$ valores son de forma determinista acotado por una constante $C$ (de modo que $|Z_n|\leq C$ todos los $n$),$\lim_{n\rightarrow\infty}E[Z_n]=0$. Este es un caso especial de la "Limitado Teorema de Convergencia" para variables aleatorias (véase la sección 13.6 de Probabilidad con Martingales por David Williams).

Incluso una declaración más general es el "limitado momento teorema de convergencia", que elimina el requisito de determinista de los límites y sólo requiere de $E[|Z_n|^{1+\delta}] \leq C$ todos los $n$ (para algunos números reales $C\geq 0$, $\delta>0$). Yo necesitaba una declaración de una vez, pero no podía encontrar ninguna referencia, así que me dio una rápida prueba en el Apéndice a aquí: http://ee.usc.edu/stochastic-nets/docs/low-power-computing-chapter.pdf