¿Por qué?

Question

Cómo mostrar que $$\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}} + \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}} = 3?$ $

Esta igualdad proviene de problemas $$t^3 - 15 t - 4 = 0$$ using Cardanos fomula and knowing the solution $ t_1 = 4$.

He intentado multiplicar todo con $(\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}})^2 - (\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}})^2$, pero sin éxito. Entonces he resuelto para una raíz cúbica y poner todo a la tercera potencia. También sin éxito.

Answer 1

Pista: $a = \sqrt [3] {18 +5\sqrt {13}} + \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}=b+c \\a^3=b^3+c^3+3bc(b+c) \\ a^3=18+5\sqrt{13}+18-5\sqrt{13}+3\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}.\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}} (a) \\a^3=36+3\sqrt [3] {324-325} a\\a ^ 3 = 36-3a$ $solucionar para una % $ $$a^3+3a-36=(a-3)(a^2+3a+12)=0 \to a=3$

Answer 2

Que $(a + b\sqrt{13})^3 = (18 + 5\sqrt{13})$ $a, b \in \Bbb Q$

Expansión de la LHS da,

$$(a^3 + 39 ab^2 - 18 ) +\sqrt{13}(3a^2 b + 13 b^3 - 5) = 0$$,

De esto obtenemos,

$$\begin{cases}a^3 + 39 ab^2 - 18 = 0 \\ 3a^2 b + 13 b^3 - 5 = 0\end{cases}$$

Resolver el sistema dar $ a = \dfrac 32$ y $ b = \dfrac12$

Por lo tanto

$$\sqrt[3]{(18 + 5\sqrt{13})} = \dfrac 32 +\dfrac12\sqrt{13}$$

Del mismo modo,

$$\sqrt[3]{(18 - 5\sqrt{13})} = \dfrac 32 -\dfrac12\sqrt{13}$$

Por lo tanto, la suma es $3$.

Answer 3

$$\left(\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}} + \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}\right)^3=$ $ $$=18+5\sqrt{13}+18-5\sqrt{13}+3\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}} \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}\left(\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}} + \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}\right)=$ $ $$=36+3\sqrt[3]{-1}\left(\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}} + \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}\right)=$ $ $$=36-3\left(\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}} + \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}\right).$ $, Pues $\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}} + \sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}=x.$

Así, $$x^3=36-3x$ $ o $$x^3-3x^2+3x^2-9x+12x-36=0$ $ o $$(x-3)(x^2+3x+12)=0,$$ which gives $x = 3$.

Pero creo que la mejor manera en esta formulación es la manera mediante el uso de $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc).$ $ ahora, tenemos que demostrar que $$18+5\sqrt{13}+18-5\sqrt{13}-27-3\cdot(-3)\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\cdot\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}=0$ $ o % $ $$36-27-3(-3)(-1)=0,$que es cierto.

¡Hecho!

Answer 4

Porque la función $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^3$ es inyectiva, se deduce que

$x = y \iff x^3 = y^3$ (vivió más: $\Leftarrow$ sigue de inyectabilidad)

Por lo tanto, puede cubo ambos lados sin ningún peligro, calcular y hacer la conclusión que usted está buscando.