No hay ninguna forma bilineal definida positiva en $V$

Question

Que $V$ sea un espacio de vector $\mathbb C$, $\dim V>1$. Entonces cualquier forma bilineal $\phi$ allí es $v\in V$s.t. $\phi(v,v)=0$ (por lo que no forma bilineal definida positivo en $V$)

Si uno toma la multiplicación usual entonces $\begin{pmatrix}i\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}i\\0\end{pmatrix}=-1$, por lo que para una particular forma bilineal, determinación positiva falla, pero necesito algun ejemplo que da $0$ y para cualquier forma bilineal.

Answer 1

Deje $v = (1,\dots,v_n)$. Podemos escribir $$ \phi(v,v) = p(v_1,v_2,\dots,v_n) $$ Es decir, $\phi(v,v)$ nos da un polinomio en las entradas de $v$.

Supongamos que $\phi$ es constante a lo largo de $v$. Por bilinearity, $\phi = 0$.

Ahora, supongamos que el $\phi(v,v)$ no es constante. A continuación, hay algunos $v_i$ tal que $p(v_1,v_2,\dots,v_n)$ no es una constante del polinomio en $v_i$.

Para cualquier fija los valores de $v_j$ (para $j\neq i$), $p$ nos da un polinomio cuadrático en $v_i$. Por lo tanto, existe un valor de $v_i$ que hace $p$ igual a cero.

En cualquier caso, existe una $v$ tal que $\phi(v,v) = 0$.

Answer 2

Demuestra en primer lugar que si $\phi$ es no trivial de la forma bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre un campo de característica $\neq 2$, entonces no es $v \in V$ tal que $\phi(v, v) \neq 0$.

Si $\phi \equiv 0$ cualquier $v \in V$ va a hacer. De lo contrario, elija $v \in V$$\phi(v,v) \neq 0$. Mediante la sustitución de $v$ $\frac{v}{\sqrt{\phi(v,v)}}$ (donde $\sqrt{\phi(v,v)}$ es cualquiera, posiblemente complejas, a raiz de la $\phi(v,v)$), podemos asumir que $\phi(v,v) = 1$. Considere la posibilidad de $U = \operatorname{span} \{ v \}^{\perp}$. Desde $\dim V > 1$, debemos tener $\dim U \geq 1$. Elija $0 \neq u \in U$. Si $\phi(u,u) = 0$, hemos terminado. Si $\phi(u,u) \neq 0$, multiplicar $u$ por un escalar y hacer que la $\phi(u,u) = -1$. A continuación, $v + u \neq 0$ ($u$$v$ son linealmente independientes) y $\phi(v+u, v+u) = 0$.