demostrar que los elementos de una secuencia son coprimos por parejas

Question

Para la secuencia $a_n = 6^{2^n} + 1$ :

¿Cómo puedo demostrar que los elementos de esta secuencia son coprimos por parejas, es decir, demostrar que si $m$ no es igual a $n$ entonces $\gcd(a_m, a_n) = 1$ . (empezar por demostrar que $a_n (a_{n+1} - 2)$ )

Answer 1

Supongamos que el primer $p$ divide $a_{n}$ y $a_{m}$ , para $n > m$ .

Entonces $p$ divide el resto $r$ de la división de $a_{n}$ por $a_{m}$ , como $r = a_{n} - a_{m} q$ para algunos $q$ .

El resto $r$ se puede calcular como $$ 6^{2^{n}} + 1 = (6^{2^{m}})^{2^{n-m}} + 1 \equiv (-1)^{2^{n-m}} + 1 = 2 \pmod{6^{2^{m}} + 1}. $$

Así que $r = 2$ y $p$ sólo podría ser $2$ mientras que el $a_{n}$ son todos Impares.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\, \ a_{\large n+1}\! = (6^{\large 2^{\Large n}})^{\large 2}+1 = (a_{\large n}\!-\!1)^{\large 2}+1= f(a_{\large n}),\ \ f(x) = (x\!-\!1)^2+1$

${\rm mod}\ a_{\large n}\!:\,\ \color{#c00}{a_{\large n+1}}= \ \ f(a_{\large n})\ \ \equiv f(0) \equiv \color{#c00}2$
$\phantom{{\rm mod}\ a_{\large n}\!:}\,\ \ \color{#0a0}{a_{\large n+2}}= f(\color{#c00}{a_{\large n+1}})\equiv f(\color{#c00}2) \equiv\color{#0a0} 2$
$\phantom{{\rm mod}\ a_{\large n}\!:}\,\ \ a_{\large n+3}= f(\color{#0a0}{a_{\large n+2}})\equiv f(\color{#0a0}2) \equiv 2$
$\phantom{{\rm mod}\ a_{\large n}\!:}\qquad\quad\ \vdots$
$\phantom{{\rm mod}\ a_{\large n}} a_{\large n+k+1}= f(a_{\large n+k})\equiv f(2) \equiv 2$

$\ \ $ es decir $\,\quad a_{\large n+k+1}\! =\! f^{\large k}(\color{#c00}{a_{n+1}})\!\equiv\! f^{\large k}(\color{#c00}2)\equiv 2\ $ porque $\,2\,$ es un punto fijo de $f,\,$ es decir $\,f(2) = 2$

Answer 3

$$a_{n+1}-2=6^{2^{n+1}}-1=(6^{2^n}-1)(6^{2^n}+1)=(6^{2^{n-1}}-1)(6^{2^{n-1}}+1)(6^{2^{n}}+1)=(6^{2^0}-1)(6^{2^{0}}+1)(6^{2^{1}}+1)\cdots(6^{2^{n-1}}+1)(6^{2^n}+1)=5a_1a_2\cdots a_n$$ Por lo tanto, $\gcd(a_{n+1},a_k)\leq 2$ donde $k=1,2,\cdots ,n$ y $\gcd(a_{n+1},a_k)\not= 2$ ya que no de $a_n$ están igualados.