Algunas preguntas sobre las propiedades de $\mathbb{R} ^ {[0,1]}$

Question

Dado el espacio topológico $X=\mathbb{R}^{[0,1]}$ con el producto de la topología, hay varias propiedades en cuanto a $X$ que no estoy seguro de si son de tipo verdadero/falso.

1. Es $X$ metrizable? Estoy teniendo problemas en ¿cómo puedo demostrar/refutar esto, y no estoy seguro de si debo objetivo de probar esto o para encontrar un contraejemplo.

2. Es $X$ normales y/o de Hausdorff? Yo creo que puedo mostrar a $X$ es Hausdorff, pero no muy seguro de como este o sobre cómo formalizar dicha prueba.

3. Es $X$ compacto y/o localmente compacto? (Y compacidad implica localmente compacto o es al revés?)

4. Es $X$ conectado y/o trayectoria-conectado?

Me parece especialmente duro sobre cómo iniciar en demostrar/refutar cada uno, por lo que incluso una sugerencia va a ayudar!:) Gracias!

Answer 1

$X$ no es metrizable ya que no es la primera contables.

Desde $\Bbb R$ es Hausdorff, por lo que es un producto arbitrario de $\Bbb R$. Más generalmente, un producto arbitrario de espacios de Hausdorff es Hausdorff.

Si $X$ eran compactas, otro espacio de $Y$, con lo cual se puede escribir como la imagen continua de $X$ tendría que ser compacto. Se puede adivinar que el mapa $X\to Y$ estoy hablando?
Local de compacidad es refutada de manera similar. Puede usted pensar en una razón por la cual ningún barrio en $X$ puede ser compacto?

$X$ es la ruta de acceso conectado. Dado los puntos de $x=(x_i)_{i\in[0,1]}$$y=(y_i)_i$$X$, una ruta de acceso puede ser expresado usando cada uno de los caminos $x_i\to y_i$$i\in[0,1]$.
La conectividad es un poco más difícil. La prueba usual sé de los usos de la densa conectado subconjunto $D=\{(x_i)_i\mid x_i=p_i\text{ for almost all $i$}\}$ donde $p=(p_i)_i$ es algún punto fijo en $X$.

Edit: Najib me recuerda que la ruta de acceso-conexión implica la conexión, por lo que el último párrafo se aplica si usted quería mostrar la conexión directamente, o para el caso general de un producto de espacios conectados.
En el mismo espíritu, si usted ha desmentido local compacidad, entonces usted ha desmentido la compacidad, desde un compacto Hausdorff espacio siempre es localmente compacto.

Answer 2

El espacio de $\mathbb{R}^{[0,1]}$ es solo un producto de $|\mathbb{R}|$ muchas copias de $\mathbb{R}$.

Un espacio del producto $\prod_i X_i$ está conectado iff todos los $X_i$ están conectados. $\mathbb{R}$ está conectado así que.. El mismo teorema vale para la ruta de acceso-conexión (y es más fácil de probar, incluso).

Un espacio del producto $\prod_i X_i$ es compacto iff todos los $X_i$ son compactos. Así que la única pregunta que queda por responder: es $\mathbb{R}$ compact?

Un espacio del producto $\prod_i X_i$ es Hausdorff iff todos los $X_i$ son Hausdorff. Así es $\mathbb{R}$ Hausdorff?

Trate de mostrar que $\mathbb{R}^{[0,1]}$ no es la primera contables. Esto debería matar las ilusiones de metrisability.

El más duro es ver que $\mathbb{R}^{[0,1]}$ no es normal. Para ver esta pregunta y sus respuestas.