POR QUÉ

Question

¿Cómo sé cuando es que van desde $x$ $-1$ $1$?

Quiero saber por qué $\sin^{-1}(x)+\cos^{-1}(x) = π/2$

Ya he tratado de función inversa.

Gracias.

Answer 1

Hay un par de maneras de hacerlo; Aquí es una forma geométrica simple, corto. En primer lugar, dibujamos un triángulo rectángulo y etiqueta lo vértices $A,B,C$ y el % de longitudes de lado $a,b,c$.

Have $$\begin{align*} & \sin\theta=\frac bc\implies\theta=\arcsin\frac bc\\ & \cos\varphi=\frac bc\implies\varphi=\arccos\frac bc\end{align*}$$ Obviously, the sum of $\theta$ and $\varphi$ is $90^{\circ}$. Therefore, it follows that $$\arcsin\frac bc+\arccos\frac bc=\frac {\pi}2$$

Answer 2

$$\frac{d}{dx}(\arccos x+\arcsin x)$$

$$=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$$

$\arccos x+\arcsin x$ Es constante y dejar $x=0$ revela eso constante de lo que es.

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Como un método más elemental si $\sin a=x$ $a \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ y $\cos b=x$ $b \in [0,\pi]$ y $\sin (\frac{\pi}{2}-b)=x$ y así $a=\frac{\pi}{2}-b$ siguen one-to-oneness en los intervalos.

$$a+b=\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$$

Answer 3

El "co" en "coseno" está parado para el "complemento". Es decir, el seno del ángulo complementario. Dos ángulos son complementarios si agrega a un ángulo recto, $\pi/2$ radianes. Así: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

Answer 4

Dibujar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud $1$ y decir el lado enfrente de uno de los ángulos, $\theta$ % de la longitud $x.$entonces el lado adyacente al otro ángulo agudo es ese mismo lado de longitud $x$. El otro ángulo agudo es $\pi/2-\theta.$

Así $\theta = \sin^{-1} x$ y $\pi/2-\theta = \cos^{-1} x.$ los suman.