Varianza del número de bolas entre dos bolas especificados

Question

Pregunta: Supongamos que tenemos 100 bolas numeradas del 1 al 100, distribuidos en más de 100 diferentes compartimientos, cada contenedor tiene 1 balón. ¿Cuál es la varianza del número de bolas de bola #1 y la bola #2?

Lo que yo hice: He definido $X_i$ como indicador de la bola de $i$ - "Es que en entre las bolas 1 y 2?" También he pensado en el tema, ya que este problema: "Hemos hecho solo 3 lugares para poner los 98 restantes bolas: antes, después y entre las bolas #1,2, así que por cada bola que hay una probabilidad de 1/3 de estar en el medio. Por esto, hemos $E[X_i]= $$1 \over 3$ . Ahora $X=\sum _{i=1} ^{98} X_i$. Desde $X_i$ es una de Bernoulli RV, a continuación,: $V(X_i)=p(1-p)=$$2 \over 9$.

Pero sé que la respuesta correcta es 549 $8 \over 9$. Yo sé que de alguna manera debe utilizar la fórmula para la suma de las varianzas, pero de alguna manera yo no llegar a la respuesta correcta.

Answer 1

Bien, estás en lo correcto. Si utilizamos la fórmula para la suma de las varianzas,$$ Var (\sum_{i=1}^{98} X_i) = E[(\sum_{i=1}^{98} X_i)^2] - (E[\sum_{i=1}^{98} X_i])^2$$ and expand the sum, we see that the RHS reduces to $$\sum_{i=1}^{98}Var(X_i) + \sum_{j\ne i,j=1}^{98}\sum_{i=1}^{98}(E[X_i X_j]-E[X_i]E[X_j])$$ where $E[X_i X_j]$ equals $1/6$ and $E[X_i]E[X_j]$ equals $1/9$, as stated in the question, and $Var(X_i)$ equals $2/9$.

Se evalúa a la respuesta dada. Creo que el único punto de confusión puede estar en el hecho de que $X_i$ $X_j$ puede ser asumida como independiente, mientras que en realidad, no lo son. Una buena manera de ver esto sería el uso de la argumentación utilizada en la cuestión para llegar a $E[X_i]$, de la siguiente manera. Tomar dos bolas y ver de cuántas maneras, $ B_1, B_i, B_j,$ $B_2$ puede ser dispuestas de tal manera que $ B_1$ $B_2$ permanecer en las esquinas. Las otras bolas se les permite estar en cualquier lugar, por lo que no afectará a nuestros cálculos de probabilidad. La probabilidad viene a ser $\frac{4}{4!}$ e no $1/9$, como sería de esperar si fueran independientes.

Answer 2

Indicar el número de bolas y el número de contenedores por $b$. Supongamos que el primer tierras de pelota en el recipiente $X_1$, y la segunda bola en el reciclaje $X_2$. El número de bolas que la tierra entre ellos es igual a $Z = |X_2 -X_1| - 1$. Claramente $$ \Pr\left( X_1 = m_1, X_2 = m_2 \right) = \frac{1}{b\cdot (b-1)} [ m_1 \no= m_2 ] $$ Por lo tanto: $$\begin{eqnarray} \Pr\left(Z = n\right)&=&\sum_{m_1}^b \sum_{m_2=1}^b \frac{1}{b(b-1)} [ m_1 \not=m_2, |m_1-m_2|=n+1] \\ &=& \sum_{m_1}^b \sum_{m_2=1}^b \frac{2}{b(b-1)} [ m_1 > m_2, m_1=n+1+m_2] \\ &=& \frac{b-n-1}{\binom{b}{2}} [ 0 \leqslant n < b-1 ] \end{eqnarray} $$ Con esto es sencillo encontrar: $$ \mathbb{E}\left(Z\right) = \sum_{n=0}^{b-2} n \frac{b-n-1}{\binom{b}{2}} = \frac{b-2}{3} $$ $$ \mathbb{E}\left(Z^2\right) = \sum_{n=0}^{b-2} n^2 \frac{b-n-1}{\binom{b}{2}} = \frac{(b-2)(b-1)}{6} $$ Por lo tanto la varianza lee: $$ \mathbb{Var}(Z) =\mathbb{E}(Z^2) - \mathbb{E}(Z)^2 = \frac{(b+1)(b-2)}{18} = 549 \frac{8}{9} $$

Answer 3

Si $X$ es el número de bolas entre los dos etiquetados $0$$1$, claramente $X$ toma valores entre 0 y 98. El último valor viene dado por el hecho de que si 0 está en la bandeja 1 y 1 en el recipiente de 100 que tiene exactamente 98 bolas/contenedores entre ellos, y esta es la única manera de conseguir $X=98$. El otro caso extremo es $X=0$, por lo tanto 0 y 1 tienen que seguir cada uno de los otros, y se tiene un 99 maneras de hacerlas de esta manera, por lo que hay 99 maneras de conseguir $X=0$.

Ahora a por la probabilidad: para obtener $X=98$ usted necesita para obtener 1 en la bandeja 1 y 0 y bin 100 y nada en el medio. También, usted tiene dos maneras de hacer esto:(0,1), (1,0). Por lo que la probabilidad de $X=98$ $2 \cdot\frac{1}{100} \cdot \frac{98}{99} \cdot \frac{97}{98} \cdots 1 =2 \cdot \frac{1}{100 \cdot 99} \cdot 1$ o reemplace$0$$1$). Para obtener $X=97$ tiene $1x \cdots 0y$ o $x1 \cdots y0$ donde $x,y$ son cualquier número. La probabilidad de esto es $2 \cdot \bigg( \frac{1}{100 \cdot 99} +\frac{1}{99} + \frac{1}{98} \bigg)$. Ando así sucesivamente. A finales del día, la probabilidad de tener $k$ pelotas en el medio debe ser algo parecido a $$ P(X=98)=2 \cdot \frac{1}{100 \cdot 99}\\ P(X=k)=2 \bigg(\frac{1}{100 \cdot 99} + \sum_{j=1}^{100-(k+2)}\frac{1}{100-j}\bigg), \ 0 \leq k \leq 97 $$
A partir de esto, usted debería ser capaz de encontrar MGF, la media y la varianza.