Cómo probar infinitos enteros positivos triples $(x,y,z)$ tal $(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx)$

Question

demostrar que existen infinitos triples enteros positivos $(x,y,z)$

tal $$(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx)$$

Puede probarlo es claro $(x,y,z)=(1,1,1)$ es una solución y

$$(x+y+z+1)^2=5(xy+yz+xz)+1$$

Answer 1

Lema( $\color{Green}{\text{Vieta's formula}}$ ) :
Dejemos que $\alpha_1$ sea la raíz de la cuadrática polinomio ecuación $aY^2+bY+c=0$ ;
entonces tenemos: $\alpha_2= \color{Blue}{\dfrac{-b}{a}}-\alpha_1$ .

Prueba : Sólo se nota que $\alpha_1 + \alpha_2 = \dfrac{-b}{a}$ .

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$ \color{Purple} { \text{Let's to look at one of the} \ \ x, y, z \ \ \text{as the} } $ $\color{Red}{\text{variable}}$ $ \color{Purple} { \text {and to look at the others as} } $ constantes .

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Por ejemplo, veamos $\color{Red}{y}$ como indeterminado , y para ver $x,z$ como constantes ;
como ha hecho @user399601.

$$(x+\color{Red}{y}+z)^2+2(x+\color{Red}{y}+z)=5(x\color{Red}{y}+\color{Red}{y}z+zx) \Longrightarrow \\ \Bigg[ \color{Red}{y^2} + \big(2(x+z)\big) \color{Red}{y} + (x+z)^2 \Bigg] + \Bigg[ 2 \color{Red}{y} +(x+z) \Bigg] = \Bigg[ 5(x+z) \color{Red}{y} + 5zx \Bigg] \Longrightarrow \\ \color{Red}{y^2} + \Big( 2(x+z) + 2 -5(x+z) \Big) \color{Red}{y} + \Big( (x+z)^2 + (x+z) -5zx \Big) =0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \\ \color{Red}{y^2} + \Big( \color{Blue}{ 2 -3(x+z) } \Big) \color{Red}{y} + \Big( (x+z)^2 + (x+z) -5zx \Big) =0 \ \ \ \ \ \ \ \color{Green}{\star\star\star\star} $$

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Supongamos que $\color{Red}{y}$ satisface la ecuación polinómica $\color{Green}{\star\star\star\star}$ ;
entonces por $\color{Green}{\text{Vieta's formula}}$ ; podemos ver que : $ \Big( \color{Blue}{ 3(x+z) -2 } - \color{Red}{y} \Big) $ satisfará $\color{Green}{\star\star\star\star}$ .

Así que lo probamos:

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Si $(x,\color{Red}{y},z)$ satisface $\color{Green}{\star\star\star\star}$ ; entonces $ ( x , \color{Blue}{ 3(x+z) -2 } - \color{Red}{y} , z ) $ satisfará $\color{Green}{\star\star\star\star}$ .

[ Más especialmente si dejamos que $x=1$ tenemos lo siguiente:
Si $(1,\color{Red}{y},z)$ satisface $\color{Green}{\star\star\star\star}$ ; entonces $ ( x , \color{Blue}{ 3z + 3 -2 } - \color{Red}{y} , z ) $ satisfará $\color{Green}{\star\star\star\star}$ . ]

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$ \color{Purple} { \text {This method is called}}$ $ \color{Green} { \text {vieta-jumping}}$

Para más información, puede consultar aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/tagged/vieta-jumping

https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping#Constant_descent_Vieta_jumping

Answer 2

Esto da exactamente el tipo de salto que crea la Árbol de Markov Dado que el orden de $x,y,z$ no importa, es tradicional pedir $1 \leq x \leq y \leq z$ para ahorrar espacio. Entonces, tenemos dos saltos que van a la siguiente capa más grande del árbol. El crecimiento más lento es ( estoy ordenando el resultado también) $$ (x,y,z) \mapsto (x,z, 3x+3z - y - 2). $$ El crecimiento más rápido es $$ (x,y,z) \mapsto (y,z, 3y+3z - x - 2). $$ Este diagrama se acerca más a la visión del artículo de la wikipedia

Las primeras capas son

¿Cómo encontramos las fórmulas pertinentes para las dos hojas siguientes, que salen de una hoja existente $(x,y,z)?$ Esta parte se denomina Salto de Vieta. Tenemos una solución entera (positiva) para $$ x^2 + (2 - 3y - 3z)x + \; \mbox{stuff} = 0. $$ Si el $x$ valor que tenemos y la otra solución de la cuadrática se llama $x',$ tenemos $$ x + x' = 3y + 3z - 2, $$ para que $$ x' = 3y+3z-x-2, $$ en orden ascendente obtenemos $(y,z,x').$

Si vamos a dar la vuelta al $y $ en su lugar, tenemos $$ y^2 + (2 - 3x - 3z)y + \; \mbox{stuff} = 0. $$ Si el $y$ valor que tenemos y la otra solución de la cuadrática se llama $y',$ tenemos $$ y + y' = 3x + 3z - 2, $$ para que $$ y' = 3x+3z-y-2, $$ en orden ascendente obtenemos $(x,z,y').$

La mejor discusión de esto que conozco es un Artículo de 1907 de Hurwitz en alemán . Al preparar mi artículo en este campo con Kaplansky, me basé en Cusick, Thomas; Flahive, Mari (1989). Los espectros de Markoff y Lagrange.

Answer 3

Si $(1,y,z)$ es una solución, entonces $(1,z,3z-y+1)$ también es una solución porque \begin{align*} &\quad \Big( 1 + z + (3z - y + 1) \Big)^2 + 2 \Big( 1 + z + 3z - y + 1 \Big) - 5 \Big( z + z(3z - y + 1) + 3z - y + 1 \Big) \\ &= (1 + y + z)^2 + 2(1 + y + z) - 5(y + yz + z). \end{align*} Puedes usar esto para generar la familia infinita

$(1,1,1)$ , $(1,1,3)$ , $(1,3,9)$ , $(1,9,25)$ , $(1,25,67), ...$ de soluciones.

Answer 4

Para la ecuación.

$$(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+xz+yz)$$

Es posible reducir la parametrización de las soluciones a alguna equivalente a la ecuación de Pell.

Tiene la forma.

$$x=3a^2-(b+c)a+b^2-3bc+c^2$$

$$y=a^2-(b+3c)a+3b^2-bc+c^2$$

$$z=a^2-(3b+c)a+b^2-bc+3c^3$$

Estos parámetros se pueden registrar mediante la solución de la ecuación Pell.

$$p^2-5(2k^2+t^2)s^2=-1$$

$$a=ks$$

$$b=p-(3k-t)s$$

$$c=p-(3k+t)s$$

Answer 5

Aquí hay una manera de obtener de forma más constructiva la respuesta que proporcionó user399601:

Tenga en cuenta que como $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)$ la ecuación

\begin{equation}\label{eqn:constraint}\tag{1} (x + y + z)^2 + 2(x + y + z) = 5(xy + yz + xz) \end{equation}

equivale a

\begin{align*} x^2 + y^2 + z^2 + 2(x + y + z) &= (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 - 3\\ &= 3xy + 3yz + 3xz \end{align*}

Ahora toma $z = 1$ para conseguir

\begin{equation*} (x + 1)^2 + (y + 1)^3 + 1 = 3(x + 1)(y + 1) \end{equation*}

Realización de las sustituciones $u = x+1$ et $v = y + 1$ la ecuación se convierte en

\begin{equation}\label{eqn:simplified}\tag{2} u^2 + v^2 + 1 = 3uv \end{equation}

y

\begin{equation*} (u - v)^2 + 1 = uv \end{equation*}

Ahora supongamos que hay alguna función $c:\mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}$ tal que $(u + c, v)$ es una solución siempre que $(u, v)$ es una solución. Entonces

\begin{align*} (u - v + c)^2 + 1 &= (u + c)v\\ (u - v)^2 + 2c(u-v) + c^2 + 1 &= uv + cv \\ c^2 + 2(u - v)c &= cv \end{align*}

Así que $$c(u, v) = 2(v - u) + v = 3v - 2u$$

Ahora bien, tenga en cuenta que si $(u, v)$ resuelve la ecuación \eqref{eqn:simplificada}, entonces $(u-1, v-1, 1)$ resuelve la ecuación \eqref{eqn:restricción}. Por lo tanto, la solución $(3v - u, v)$ mapas a $(3y - x + 1, y, 1)$ .