Teorema de centralizador de la normalizador

Question

Este es ejercicio 3.2.24 de Scott, teoría de grupos.

Si $H$ es un subgrupo normal abelian máximo finito de $G$ y $K$ es un subgrupo normal abelian de $G$ $K$ es finito.

La sugerencia es usar Teorema de centralizador de la normalizador.

Answer 1

Desde $H$ es finito, $Aut(H)$ es finito. Por el Normalizador/Centralizador teorema, $\frac{N_{G}(H)}{C_{G}(H) }= \frac{G}{C_{G}(H)} \ $ es isomorfo a un subgrupo de $Aut(H)$, por lo que es finito. Ahora observamos que si $M \ \trianglelefteq \ G \ $, $M$ es abelian y $M \leq C_{G}(H) \ $, $HM$ es abelian y normal en $G$, pero $H$ es máxima abelian normal por lo $HM\leq H \ $ y, a continuación,$M\leq H \ $. Tenga en cuenta que $K \cap C_{G}(H) \ $ es abelian porque $K$ es abelian y $K \cap C_{G}(H) \trianglelefteq G \ $ porque $K \trianglelefteq G \ $$C_{G}(H) \trianglelefteq G$. A continuación, $K \cap C_{G}(H) \subseteq H \ $ $K \cap C_{G}(H) \ $ es finito porque $H$ es finito. $\frac{KC_{G}(H)}{C_{G}(H)} \simeq \frac{K}{K \cap C_{G}(H)} \ $ es un subgrupo de $\frac{G}{C_{G}(H)} \ $, por lo que es finito. A continuación, $|K| = |\frac{K}{K \cap C_{G}(H)}| \cdot |K \cap C_{G}(H)| \ $ es finito.