Estoy un poco confundido acerca de una prueba en esta nota por H. Krause; consulte la página 12, la Prop. 3.5.1. Puede usted explicar cómo la $\beta_i$'s se determina? No puedo entender cómo elegir ellos, en orden de coequalize tanto $\alpha_i'$$\alpha_i''$, y también creo que hay un error en el criterio de una de morfismos a estar en la saturación de $\Sigma$... yo también voy a dar la bienvenida a cualquier otra referencia para esta propuesta.
Gracias de antemano.
Para el contexto, la pregunta es la siguiente declaración:
Supongamos $\mathcal{C}$ es una categoría con pequeñas co-productos y que $\Sigma$ es una izquierda multiplicativo subconjunto cerrado bajo de tomar co-productos, es decir $\Sigma$ satisface:
- (Nontriviality y cierre bajo composición): $\Sigma$ contiene toda identidad morfismos y es cerrado bajo tomando composiciones.
- (Mineral de condición): Si $X'\; \xleftarrow{\sigma} \; X \; \xrightarrow{\alpha} \; Z$ es tal que $\sigma \in \Sigma$ entonces existe un conmutativa de la plaza
con $\sigma' \in \Sigma$.
Nota: Si, además de los $\alpha \in \Sigma$, entonces la diagonal $\sigma'\alpha: X \to Y'$ es una de morfismos en $\Sigma$ por 1.- (Cancelación de la condición) Si $\alpha,\beta: X \to Y$ son paralelas morfismos para los que exista $\sigma: X' \to X$ $\Sigma$ tal que $\alpha\sigma = \beta\sigma$ existe $\sigma': Y \to Y'$ $\Sigma$ tal que $\sigma'\alpha = \sigma'\beta$
- (Cierre bajo co-productos): Si $\sigma_i : X_i \to Y_i$ pertenecen a $\Sigma$, también lo $\coprod \sigma_i : \coprod X_i \to \coprod Y_i$.
A continuación, la categoría de la izquierda fracciones $\mathcal{C}[\Sigma^{-1}]$ co-productos y el cociente functor $q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[\Sigma^{-1}]$ conserva co-productos.
La cosa que necesita ser demostrado es que la canónica mapa $$\etiqueta{3.5.1} \mathcal{C}[\Sigma^{-1}]\left( \coprod X_i, Y\right)\; \xrightarrow{f}\; \prod\mathcal{C}[\Sigma^{-1}]\left( X_i, Y \right) $$ es un bijection. Krause primero establece surjectivity de $f$ y el punto de la discordia es su inyectividad.
La primera vez que voy a rellenar los detalles en Krause del argumento (lo cual es perfectamente aceptable) porque creo que nada pero sencillas manipulaciones de las fracciones es necesario y acostumbrarse a ellas es una necesidad si uno quiere entender nada de esto.
Dadas dos fracciones de izquierda $\coprod X_i \;\xrightarrow{\alpha^\prime} \; Z^\prime \;\xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^\prime}\; Y$ y $\coprod X_i \;\xrightarrow{\alpha^{\prime\prime}} \; Z^{\prime\prime} \;\xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^{\prime\prime}}\; Y$ que son identificados bajo $f$ queremos mostrar que las fracciones son equivalentes.
Decir que las imágenes de estas dos fracciones en $f$ son identificados, es decir que para cada una de las $i$ las fracciones $X_i \;\xrightarrow{\alpha_{i}^\prime} \; Z^\prime \;\xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^\prime}\; Y$ $X_i \;\xrightarrow{\alpha_{i}^{\prime\prime}} \; Z^{\prime\prime} \;\xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^{\prime\prime}}\; Y$ son equivalentes.
Observe que el diagrama de $Z^{\prime\prime} \;\xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^{\prime\prime}}\; Y \; \xrightarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^{\prime}}\;Z'$ aparece en todas las fracciones para todos los $i$. La aplicación de la condición de Mineral de esta cuña que obtener un morfismos $Y \; \xrightarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma}\; Z$ de la forma $\sigma= \tau' \sigma' = \tau''\sigma'' \in \Sigma$.
El diagrama
exhibiciones de la fracción $ X_{i} \; \xrightarrow{\tau'\alpha_{i}'} \; Z \; \xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma} \; Y $ como equivalente a $ X_i \;\xrightarrow{\alpha_{i}^\prime} \; Z^\prime \;\xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^\prime}\; Y $. Del mismo modo, $ X_{i} \; \xrightarrow{\tau\alpha_{i}^{\prime\prime}} \; Z \; \xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma} \; Y $ es equivalente a $ X_i \;\xrightarrow{\alpha_{i}^{\prime\prime}} \; Z^{\prime\prime} \;\xleftarrow[\vphantom{\ }^{\Large{\sim}}]{\sigma^{\prime\prime}}\; Y $.
En este punto Krause reemplaza $\tau'\alpha_{i}^\prime$ $\alpha_{i}^\prime$ y de manera similar para $\alpha_{i}^{\prime\prime}$ — esto se justifica por su frase "Podemos suponer que la $Z^\prime = Z = Z^{\prime\prime}$ $\sigma^\prime = \sigma = \sigma^{\prime\prime}$ desde [...]" — para evitar confusiones, no podemos hacer esto aquí.
Desde equivalencia de fracciones es transitiva (es una relación de equivalencia — comprobar!), llegamos a la conclusión de que las dos fracciones que implican $Z$ son equivalentes. Pero esto significa que tenemos un diagrama conmutativo
De $\beta_{i}^\prime\sigma = \beta_{i}^{\prime\prime}\sigma$ concluimos con la cancelación de la condición de que exista $\sigma_{i}^\prime: \tilde{Z}_i \to Z_i$ $\Sigma$ tal que $\sigma_{i}^\prime \beta_{i}^\prime = \sigma_{i}^{\prime}\beta_{i}^{\prime\prime}$. Ahora pon $\beta_i = \sigma_{i}^\prime \beta_{i}^\prime = \sigma_{i}^{\prime}\beta_{i}^{\prime\prime}$ y observar que $\beta_{i} \tau'\alpha_{i}^\prime = \beta_{i}\tau^{\prime\prime}\alpha_{i}^{\prime\prime}$, así como el $\beta_i \sigma = \sigma_{i}^\prime (\beta_{i}^\prime \sigma) \in \Sigma$, como se afirma por Krause (recordando el párrafo en cursiva arriba).
Agregado: A ver que $\beta_i$ es, de hecho, en la saturación de $\Sigma$ (véase también la sección siguiente de la respuesta), sólo tenemos que demostrar que podemos postcompose con un morfismos $\phi_i$ tal que $\phi_i\beta_i \in \Sigma$. Aquí está uno (no es muy elegante) manera de hacerlo:
Aplicar el Mineral de la condición de la cuña $Z \; \xleftarrow{\sigma} \; Y \; \xrightarrow{\sigma_{i}^\prime \tilde{\sigma}_i} \; Z_i$ para obtener el conmutativa rectángulo de abajo a la izquierda
El punteado flecha diagonal puede ser uno de $\beta_{i}^\prime$ o $\beta_{i}^{\prime\prime}$ y no hacer el diagrama conmutativo. Sin embargo, $\tau_i \beta_i = \tau_i \sigma_{i}^\prime\beta_{i}^\prime$ $\upsilon_i$ son dos morfismos $Z \to \tilde{W}_i$ tal que $\tau_i \beta_i\sigma = \upsilon_i \sigma$. Por lo tanto, por la cancelación, podemos encontrar $\tau_{i}^\prime: \tilde{W}_i \to W_i$ $\Sigma$ tal que $\tau_{i}^\prime\tau_i\beta_i = \tau_{i}^\prime \upsilon \in \Sigma$ e lo $\phi_i = \tau_{i}^\prime \tau_i$ hace lo que queremos.
Por definición, un morfismos $\phi \in \mathcal{C}$ pertenece a la saturación $\overline{\Sigma}$ $\Sigma$ si y sólo si la localización functor $q: \mathcal{C} \to \mathcal{C}[\Sigma^{-1}]$ envía $\phi$ a un invertible de morfismos.
La reclamación. Una de morfismos $\phi$ está en la saturación de $\Sigma$ si y sólo si hay morfismos $\phi'$ $\phi''$ tal que $\phi'' \phi \in \Sigma$$\phi \phi' \in \Sigma$.
De hecho, asume que existen tales $\phi'$$\phi''$. A continuación, $(\phi''\phi)^{-1} \phi''$ es una izquierda inversa de a $\phi$ $\phi'(\phi\phi')^{-1}$ es un derecho inversa de a$\phi$$\mathcal{C}[\Sigma^{-1}]$, lo $\phi$ es invertible, también.
Recordar la forma explícita de $q(\phi) = [\phi, 1]$. Decir que $[\phi,1]$ ha dejado inversa, es decir que hay una morfismos $[\alpha,\sigma]$ tal que $[\alpha,\sigma][\phi,1] \sim [1_A,1_A]$. Recordando la definición de la composición en la categoría de fracciones vemos que $[\alpha,\sigma][\phi,1] = [\alpha\phi,\sigma]$ y decir que esto último es equivalente a $[1,1]$ es para darle un diagrama conmutativo
nos dice que $(\beta \alpha)\phi = \sigma^\prime \in \Sigma$, de modo que podemos tomar $\phi^{\prime\prime} = \beta\alpha$. De igual manera para la prueba de la existencia de $\phi^\prime$.
Con estos argumentos en la mano, creo que es seguro regresar a Krause notas, que reproduzco para la conveniencia del lector — (3.5.1) es el mismo que el que se muestra la ecuación anterior:
El clásico de referencia para el cálculo de las fracciones es Gabriel-Zisman, Cálculo de Fracciones y Homotopy Teoría, pero es relativamente breve. Una exposición detallada se puede encontrar en Schubert, Categorías, en el capítulo 19 (al menos en la edición alemana). Para aquellos que quieran comprobar los conceptos básicos que siempre recomiendo tener páginas 300 y ss. de Lam Conferencias sobre los módulos y anillos de cerca porque los argumentos no pueden ser fácilmente generalizado de los anillos de categorías por mantener el seguimiento de origen y de destino de los morfismos.
Como una alternativa de la prueba de la proposición de preguntar acerca de, usted puede apelar al hecho de que los morfismos clases en $\mathcal{C}[\Sigma^{-1}]$ puede ser descrito como filtrada colimits y mantener el seguimiento de aquellos. Esto se hace en la prueba del Teorema 19.2.8 de (la edición alemana de) de Schubert libro. Llenar los detalles no parece más fácil para mí que Krause del argumento, a pesar de que, como la verificación de todos los connaturalidad afirmaciones implica precisamente los mismos argumentos, pero escondido en un formalismo. Sin embargo, esto es probablemente una cuestión de gusto...
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
