¿Es mensurable con respecto a los $\{\max\{X_1,X_2\}=X_2\}$ el evento $\sigma(\max\{X_1,X_2\})$?

Question

Que $X_1$ y $X_2$ ser arbitraria variables al azar se define la probabilidad espacio $(\Omega,\mathcal{F},P)$. ¿Estoy tratando de determinar si el evento $\{\max\{X_1,X_2\}=X_2\}$ es mensurable con respecto a los $\sigma(\max\{X_1,X_2\})$? Normalmente sería intentar descomponer el evento en un contable Unión o intersección de eventos que son claramente elementos de $\sigma(\max\{X_1,X_2\})$. Sin embargo, lo único que puedo pensar para volver a escribir el conjunto original es $\{\max\{X_1,X_2\}=X_2\}=\{X_1\leq X_2\}$. No estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Answer 1

No es cierto. Que $X_1$ sea un Bernoulli(1/2) al azar variable y set $X_2=1-X_1$. Entonces $\max(X_1,X_2)$ es la variable aleatoria constante 1. El generado $\sigma$-álgebra $\sigma(\max\{X_1,X_2\})$ es trivial, pero no es el evento $\{\max\{X_1,X_2\}=X_2\}$.

Answer 2

$X_1$ una Bernoulli(p) $p>0$ r.v. tomando los dos posibles valores 0 o 1