Que $S$ ser la clase de Schwartz. Demostrar eso si $f,g\in S$ y $fg\in S$ y $f*g\in S$, donde $*$ denota convolución.

Question

Deje $S$ ser el de Schwartz de la clase. Mostrar que si $f,g\in S$, $fg\in S$ $f*g\in S$ donde $*$ denota la convolución.

---

Para diferenciar $fg$, podemos aplicar la regla de Leibniz ( http://en.wikipedia.org/wiki/General_Leibniz_rule ). Y entonces, tal vez introducirá en el orden de la derivada.

¿Hay algo de lo útil que puede ser aplicado a la diferenciación $f*g$? Supongo que hay una regla del producto de convolución. Pero después de usar el producto de la regla, todavía hay un signo de convolución.

Answer 1

$(f*g)' = (f')*g = f*(g')$. Sólo se diferencian en virtud de la integral.

Por lo que es suficiente para demostrar que si $f$ $g$ son Schwartz, a continuación,$f*g(x)/|x|^n \to \infty$$x \to \pm\infty$. Solo hay que hacer caso a $+\infty$. Desde $f$$g$$C^\infty$, que están delimitadas en cualquier conjunto compacto, y por lo tanto, $|f(x)|,|g(x)| \le C_n /(1+|x|^n)$ donde $C_n$ depende de $n$.

Entonces $$ |f*g(x)| = \left|\int_{-\infty}^\infty f(x-y) g(y) \, y\right| \\ \le \left|\int_{-\infty}^{x/2} f(x-y) g(y) \, dy\right| + \left|\int_{x/2}^\infty f(x-y) g(y) \, y\right| \\ \le \sup_{y\le x/2}|f(x-y)| \int_{-\infty}^\infty |g(y)| \, dy + \sup_{y\ge x/2}|g(y)| \int_{-\infty}^\infty |f(x-y)| \, dy \\ \le D C_n /(1+|x/2|^n) ,$$ donde $D = \|f\|_1+\|g\|_1$.

Answer 2

Usted puede utilizar el hecho de que $\widehat{f*g} = \hat f \hat g$. Si usted sabe que $f,g \in S$ implica que el$\hat f$$\hat g$$S$, a continuación, utilizar la transformada de Fourier de la inversión de la fórmula para obtener la $f * g (x)= (2\pi) ^{-n}~~\widehat{\widehat{f*g}}(-x)$.

Desde $\widehat{f*g} = \hat f \hat g$ y usted sabe que la pointwise producto de dos funciones en $S$ está en $S$, $\widehat{f*g}$ es en $S$, lo que implica que $\widehat{\widehat{f*g}}$ es en el espacio de Schwartz $S$.

Dicho todo esto, tenemos que $f * g$ es igual a una constante por una función en $S$.

Aviso de que todo en la $S$ se encuentra en $L^1$, por lo que el uso de la Inversión de la fórmula es válida.