Yo estaba experimentando con una calculadora gráfica para comprobar $$\lim_{x\to\infty} (1+\frac1x)^x=e$ $ traza la gráfica de $y=(1+\frac1x)^x$, y me sorprendió cuando zoom hacia fuera suficiente.
Es oscilante hasta alcanzar el $x=9\times 10^{15}$, donde $y$ $1$ llega a ser y permanece allí después. ¿Cómo podríamos explicar esto?
Respuestas
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Muy fácil: la calculadora uso de doble precisión aritmética de punto flotante.
De manera que los valores de $1+\dfrac1x$ se truncan a $53$ bits, y el mayor $x$, los bits más significativos se pierden. Que son en realidad computing $(1+\epsilon)^x$ donde $\epsilon$ es un truncamiento de $\dfrac1x$ a un múltiplo de $2^{-53}$. En los intervalos tales que $\epsilon$ permanece constante, se obtiene una curva exponencial.
Cuando se supera $x=2^{53}\approx9.0072\times10^{15}$,$\epsilon=0$.
Como se puede comprobar, los saltos anteriores se producen precisamente en
$$\epsilon=3\cdot2^{-53}\to x\approx3.0024\times10^{15},$$
$$\epsilon=6\cdot2^{-53}\to x\approx1.5012\times10^{15},$$ y, probablemente, $$\epsilon=7\cdot2^{-53}\to x\approx1.2867\times10^{15}.$$
El particular enteros que aparecen dependen de los detalles del algoritmo de la división se utiliza (con protector de brocas y redondeo).
Para el cálculo de las potencias, logaritmos se utilizan, dando lugar a la fórmula
$$\left(1+\frac1x\right)^x\approx e^{x\ln(1+\epsilon)}.$$
Como $\ln(1+\epsilon)\approx\epsilon$, en teoría, podemos esperar que el $\ln(1+\epsilon)$ es evaluado como $\eta$, un valor cercano a $\epsilon$, pero no necesariamente un múltiplo simple (también a causa de los detalles interiores del algoritmo). En los puntos de salto, $x=1/\epsilon$ y el valor de la función es $e^{\eta/\epsilon}$.
Esto explica por qué el valor más grande es exactamente $e^2=7.3890\cdots$, debido a $\epsilon=2^{-53}$$\eta=2\cdot2^{-53}$.
Los dos valores en $\epsilon=3\cdot2^{-53}$ debe ser exactamente $e^{2/3}$$e^{4/3}$, correspondiente a $\eta=2\cdot2^{-53}$ $4\cdot2^{-53}$ respectivamente.
Los valores en $\epsilon=6\cdot2^{-53}$ puede ser conjeturado a ser $e^{19/24}$ $2^{29/24}$ ( $\eta=4.75\cdot2^{-53}$ $7.25\cdot2^{-53}$ ), pero esto es menos seguro.
A continuación es un cualitativa de la simulación de este fenómeno con la fórmula
$$e^{\frac x{64}\left[\frac{64}x\right]}$$ donde los corchetes indican una operación de redondeo.
La "envoltura" curvas son las exponenciales $e^{1\pm x/128}$.
Ya Basha
Puntos
130
Creo que este es un punto flotante de error, que viene de el hecho de que en el interior de los equipos, los números están siendo constantemente redondeado a un número fijo de dígitos significativos. Básicamente, una vez $x$ se convierte en lo suficientemente grande, $\frac1x$ se convierte realmente pequeña, y el programa no puede decir la diferencia entre el $1 + \frac1x$ $1+\frac1{x+d}$ relativamente pequeño $d$. Eso significa que durante todo un intervalo, $1 + \frac1x$ obtiene redondeado a algunos fijos $1+\frac1{x_0}$, y, a continuación, exponentiated. Usted puede notar que en cada una de las partes separadas continuas, la función se parece mucho a $a^x$ sería para alguna constante $a$.
Después de $9\cdot 10^{15}$, el programa simplemente se da por vencido por completo, dice que "en cuanto a mí se refiere, $1 + \frac1x = 1$" y su función es constante.
