Complemento de un conjunto abierto es finito en la topología de Zariski

Question

Este problema tiene dos partes:

a) Deje $M$ ser un finitely módulo generado más de un Noetherian anillo de $A$. Demostrar que $S=\{ P \in\operatorname{Spec}(A) : M_P \mbox{ is a free }A_P\mbox{-module} \}$ es un subconjunto abierto de $\operatorname{Spec}(A)$.

b) Si $M \subset A^r$ $A=K[X,Y]$ (donde $K$ es un campo), demostrar que el complemento de $S$ (como se define más arriba) es un conjunto finito.

Hice la primera parte. He demostrado que para un alojamiento ideal $P \in\operatorname{Spec}(A)$ si $M_P \mbox{ is a free }A_P\mbox{-module}$, entonces no existe $f_P \notin P$ e una $n \in \mathbb{N}$ tal que $M_{f_P} \cong A_{f_P}^n$. Si $D(f)=i^{*}(\operatorname{Spec}(A_f))$ (que está abierto en la topología de Zariski), entonces podemos demostrar que $S= \cup_{P \in S} D(f_P)$ , por lo tanto $S$ está abierto.

No puedo resolver parte de los dos. Es extraño, ya que para demostrar que el complemento de un conjunto abierto en $\operatorname{Spec}(K[X])$ es siempre un conjunto finito, ya que se trata de un PID. Pero $K[X,Y]$ es no, así que tenemos que utilizar la estructura de $S$. Lamentablemente no sé cómo. Gracias.

Answer 1

Deje $A$ ser un noetherian anillo, que es regular en codimension $1$. Eso significa que $A_P$ es un discreto anillo de valoración para todos los $P$$\mathrm{height}\, P = 1$.

El anillo de $A'=k[X,Y]$ cumple con esta condición. De hecho, cada flor de la altura de uno de los principal es $P=(f)$ $f$ irreductible, y la valoración de $P$ está dado por el exponente de $f$ en el primer factor de la descomposición de un elemento $g$$Q(K[X,Y])$.

Ahora vamos a $A$ general de codimension $1$ regular noetherian anillo y $M \subseteq A^r$ un finitely generadas $A$-módulo. Luego por la exactitud de la localización que hemos

$$M_P \subseteq A_P^r$$

Ahora para $P$ de la altura de la $1$ el anillo de $A_P$ es un DVR por supuesto, es especialmente PID. Ahora, para cada PID $R$ es un estándar de hecho de que un submódulo $N \subseteq R^l$ libre módulo libre sí (por desgracia no puedo citar una fuente con una prueba de ello, pero puede ser visto fácilmente. Para $R$ un DVR es aún más fácil: Para $N \subseteq R^l$ la secuencia de $0 \to R \xrightarrow{\cdot t} R \to R/tR = k \to 0$ (donde $t$ es un generador del ideal maximal de a $R$) sigue siendo exacta en $- \otimes_R N$. Esto demuestra $\mathrm{Tor}^R_1(N,k) = 0$ y, por tanto, $N$ es plano y por lo tanto libre).

Volviendo al argumento principal, esto demuestra que todos los $P$ de la altura de la $1$ $A$ pertenece al conjunto $S$.

Así que de nuevo en $A'=K[X,Y]$ el complemento del conjunto a $S$ puede contener sólo el primer ideales de la altura de la $\geqslant 2$, que forman un conjunto cerrado de máxima ideales, y por lo tanto son sólo un número finito.