Es $\omega=\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\wedge\mathrm{d}\varphi$ una forma exacta?

Question

Deje $\omega=\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\wedge\mathrm{d}\varphi$ $2$- forma en $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$. Entonces

$$\int_{\mathbb{S}^2}\omega=\int_{\mathbb{S}^2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=4\pi\ne0,$$

por lo $\omega$ no es exacto. Por otro lado,

$$\omega=\mathrm{d}\eta\text{, where }\eta=\cos\varphi\,\mathrm{d}\theta,$$

lo que se contradice con el hecho de que $\omega$ no es exacto. ¿Cómo es esto posible?

Answer 1

Hay varias cosas relacionadas con el, permítanme resumir un poco.

Primero de todo, la única forma de $\cos \varphi d\theta$ no está definido en la $\mathbb R^3\setminus\{0\}$, pero sólo en $\mathbb R^3\setminus \{x=y=0\}$. Eso es porque de coordenadas polares en general no está definido en $\{x = y =0\}$.

Usted puede, por supuesto, tienen la misma objeción a $\omega = \sin\varphi d\theta \wedge d\varphi$. Sin embargo, esto es en realidad definida en $\mathbb R^3\setminus\{0\}$ como también puede ser escrito como

$$\omega(X, Y) = \det\left(X\ \ Y\ \ \frac{\vec r}{r}\right).$$

cuando pensamos en $X, Y$ como vectores columna, $\vec r$ es el vector de posición y $r = |\vec r|$. (cálculos similares se pueden encontrar en Es este diferencial 2-forma cerrada)

Volvemos a mirar en su argumento. Es cierto que $\omega$ no es exacta, y sólo han demostrado que $\omega$ es exacta cuando restringida (por ejemplo,) $\mathbb S^2\setminus \{\text{North pole, South pole}\}$. En este sentido, como $\mathbb S^2$ menos de dos puntos es homotópica equivalente a $\mathbb S^1$, y así todas las dos formas en $\mathbb S^2$ menos de dos puntos debe ser exacto.