Un poset primo de ideales

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo (unital conmutativo), y $\mathcal I$ sea una familia no vacía de ideales propios de $A$ .

Diré que $\mathcal I$ tiene propiedad $\dagger$ si para cualquier $\mathfrak a\in\mathcal I$ y cualquier $xy\in \mathfrak a$ Uno de los $\mathfrak a+(x),\mathfrak a+(y)$ está en $\mathcal I$ .

En particular, cualquier elemento maximal (con respecto a la inclusión) de $\mathcal I$ es primo.

Hace $\dagger$ (o tal vez $\dagger$ + hipótesis del lema de Zorn) tienen un nombre (una familia de primos, quizás, como sugiero en el título)? Como pregunta al margen, ¿hay algún criterio interesante para comprobar que una determinada familia de ideales tiene la propiedad $\dagger$ ?

Me parece que los posets con propiedad $\dagger$ son bastante abundantes en el álgebra conmutativa (por ejemplo, en la demostración de la caracterización de Cohen de los anillos noetherianos), pero todavía no he visto $\dagger$ discutido por sí mismo, o cualquier nombre para él.

Answer 1

$\newcommand{\F}{\mathcal{F}}$ $\newcommand{\I}{\mathcal{I}}$ $\newcommand{\a}{\mathfrak{a}}$ En un documento titulado Un principio ideal primario en el álgebra conmutativa T.Y. Lam y yo definimos una familia $\F$ de los ideales de $A$ para ser un Familia Ako si $A \in \F$ y, para todos los ideales $I$ de $A$ y todos $x,y \in A$ la siguiente implicación es válida: $$I+(x),I+(y) \in \F \implies I+(xy) \in \F.$$ Nos interesaban precisamente por el tipo de observación que usted hace: un ideal que es máximo con respecto a no siendo un elemento de $\F$ es primo. (Esto forma parte del "Principio del ideal primo" del título del artículo).

Ahora mostraré que una familia (posiblemente vacía) $\I$ satisface su propiedad $\dagger$ si y sólo si el complemento $\F = \I^c$ (tomado en el conjunto de todos los ideales de $A$ ) es una familia Ako. (Obsérvese que su propiedad que $\I$ consistir en ideales adecuados garantiza que $A \in \I^c = \F$ .)

En primer lugar, supongamos que $\I$ satisface $\dagger$ . Para demostrar $\F = \I^c$ es Ako, dejemos que $I$ sea un ideal y $x,y \in A$ tal que $I+(x), I+(y) \in \F$ . Supongamos por contradicción que el ideal $\a = I+(xy)$ no está en $\F$ para que $\mathfrak{a} \in \mathcal{I}$ . Por propiedad $\dagger$ Uno de los $\mathfrak{a}+(x) = I + (xy) + (x) = I+(x)$ o $\mathfrak{a}+(y) = I+(xy)+(y) = I+(y)$ es un elemento de $I = \mathcal{F}^c$ , contradiciendo las suposiciones. Así, $\mathcal{F}$ es una familia Ako.

A la inversa, supongamos que $\F = \I^c$ es una familia Ako. Para demostrar que $\I$ satisface $\dagger$ , dejemos que $\a\in\I$ y que $x,y \in A$ sean elementos con $xy \in \a$ . Supongamos por contradicción que ninguno de los dos $\a+(x),\a+(y)$ es un elemento de $\I$ . Entonces $\a+(x),\a+(y) \in \F$ y la propiedad de Ako implica que $\a+(xy) \in \F$ . Pero $xy \in \a$ Así que $\a = \a+(xy) \in \F = \I^c$ una contradicción.

Tienes razón en que son familias muy comunes en el álgebra conmutativa. Hemos investigado un tipo de familia ideal relacionada, que hemos llamado Familia Oka en honor a un matemático Kiyoshi Oka que trabajó en varias variables complejas. (De hecho, el término "Ako" fue elegido juguetonamente como reverso de la palabra "Oka"). Las familias Oka parecen ser aún más ubicuas en el álgebra conmutativa, ya que son bastante fáciles de construir si se piensa en la teoría de módulos. Las familias de ideales que son Oka pero no Ako son bastante fáciles de conseguir. Por otro lado, parece que se requiere mucho más cuidado para construir un ejemplo de una familia Ako que no sea Oka; esto se logró en un artículo posterior, Familias de ideales Oka y Ako en anillos conmutativos .