El límite de la alternancia de la serie $x - x^2 + x^4 - x^8 + {x^{16}}-\dotsb$ $x \to 1$

Question

Quiero calcular el límite de esta suma :

$$\lim\limits_{x \to 1} {\left(x - x^2 + x^4 - x^8 + {x^{16}}-\dotsb\right)}$$

Mis esfuerzos para resolver el problema que se describe en la auto-respuesta a continuación.

Answer 1

A partir de aquí es increíble la solución:

Desde $S$ satisface la ecuación funcional $$S(x) = x − S(x^2)$$ está claro que si $S(x)$ tiene un límite como $x$ enfoques 1, a continuación, que el límite debe ser $1/2$. Uno podría pensar que $S(x)$, de hecho, los enfoques $1/2$, y computación numérica apoya esta conjetura - en primer lugar. Pero una vez $x$ incrementa, $0.9$ o así, el enfoque de la $1/2$ vuelve más y más errático, y, finalmente, nos encontramos con que $S(0.995) = 0.50088\ldots > 1/2$. La iteración de la ecuación funcional, nos encontramos con $S(x) = x − x^2 + S(x^4) > S(x^4)$. Por lo tanto, la raíz cuarta, 16 de raíz, 64 raíz, ... de $0.995$ son todos los valores de x para los cuales $S(x) > S(0.995) > 1/2$. Desde estas raíces enfoque de $1$, llegamos a la conclusión de que en el hecho de $S(x)$ no tienden a $1/2$ $x$ enfoques $1$, y por lo tanto no tiene ningún límite en absoluto! Entonces, ¿qué $S(x)$ $x$ enfoques $1$? Oscila infinidad de veces, en cada oscilación alrededor de 4 veces más rápido que el anterior; Si hacemos un cambio de variables de x a $\log_4(\log(1/x))$, se obtiene en el límite de un extraño oscilación periódica de periodo 1 que es casi, pero no del todo sinusoidal, con una amplitud de aproximadamente $0.00275$. Sorprendentemente, los coeficientes de Fourier se puede obtener exactamente, pero sólo en términos de la función Gamma se evalúan en el imaginario puro número $\pi i / \ln(2)$ y su impares múltiplos!

Answer 2

Basado en un papel "Summability de la alternancia de la brecha de la serie" por J. P. Keating y J. B. Reade en el año $2000$, (una copia en línea se puede encontrar aquí) uno puede utilizar de sumación de Poisson fórmula para mostrar $$ S(x) =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2^n} = \frac12 x + \frac{2}{\log 2} \Re\sum_{n=0}^\infty\left( \frac{\Gamma(\alpha_n i)}{\lambda^{\alpha_n i}} - \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}\frac{\lambda^k}{\alpha_n i + k} \right)$$ donde$\alpha_n = \frac{(2n+1)\pi}{\log 2}$$x = e^{-\lambda}$.

Como $x \to 1^{-}$, $S(x) - \frac12 x$ estará dominada por el primer término ( el término para $\alpha_0$ ) que oscila con amplitud

$$\frac{2}{\log 2}\left|\Gamma\left(\frac{\pi i}{\log 2}\right)\right| = \frac{2}{\sqrt{\log 2\sinh(\pi^2/\log 2)}} \sim 0.00275 $$ y el periódico en $\log_2 \lambda = \frac{\log\log\frac1x}{\log 2}$ periodo $2$.

Por favor, mire el documento mencionado más arriba para obtener más detalles.

Answer 3

Podemos definir un punto de rotación cuando la curva cambia su dirección de aumento de las coordenadas de la disminución de los valores de x avances.

Así que cuando tratamos de localizar aquellos puntos en nuestro polinomio, la derivada de esta función debe ser 0 en el que el eje de abscisas.

$$fn'(x)={1-2x+4x^3-......(-|+)2^n x^{2^n-1}}$$

Este polinomio se ha (n-1) los factores, lo que significa que $fn'(x)=0$ $(n-1)$ soluciones que implica que hay $(n-1)$ desviación de los puntos en el gráfico.

Al $n$ tiende a infinito tenemos ilimitadas desviaciones como se muestra en este gráfico:

Así, en consecuencia, nuestro límite está rondando sin cesar entre el $0.5+λ$ $0.5-λ$ $λ$ extremadamente pequeño, que incluso puede ser cero!!!

Finalmente, podemos decir que la función es divergente, y el límite no existe.

Answer 4

• Después de consultar a @achille hui de la respuesta, buscando en este papel, él/ella trajo, me encontré con una aprobación a mi respuesta publicada un tiempo atrás en la parte inferior de la página -97 - probado por Hardy en este libro.Bueno, llegué poco tarde :p.

- "$k$ incluso. Por lo tanto, el límite de $x->\infty$ no existe: $y_n$ ha maxima cuyas alturas tienden a $\frac{2}{3}$, y los mínimos cuyas alturas tienden a $\frac{1}{3}$. Por lo tanto la serie no es Cesaro summable. A continuación, se deduce a partir de la segunda de los resultados citados anteriormente que tampoco puede ser Abel summable (porque las sumas parciales $s_m$ están delimitadas). Hardy dio una prueba directa de este en 2. La pregunta que aquí la dirección es: ¿cuál es la forma asintótica de la brecha de la serie (1.1) en este caso como $i -> 1$"

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Así como este gráfico ilustra el hecho de que f(x) oscila infinitly entre el$0.5+\delta$$0.5-\delta$ . ahora , se necesita probar que analíticamente desde un algebric manera sería demasiado largo.

así que cuando f(x) cambia de dirección a medida que x tiende a 1 significa .

Traté de zoom en el comportamiento de la gráfica en el más cercano a la derecha de x=1 mediante la sustitución de variables :

x -> 1

$sin(( \frac{x-1}{a}+ \frac{1}{2}) \Pi)$ -> 1 con más valores

El gráfico que he recibido se parece a esto :

Código de Matlab :

syms x;syms k;for i=1 : 50
f=@(x) sin((1/(i)*(x-1)+1/2)*pi);
y= f(x)+symsum(((-1)^k)*(f(x)^(2^k)),k,1,10+i);
a=ezplot(y,-1,1);
grid;
pause(0.1);
delete(a);
end

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Ahora vamos a averiguar los límites superior e inferior:

Permite demostrar en primer lugar que la curva cambia de dirección sin cesar a medida que x se acerca a 1.

$f'(x)= 1-2x+4x^3-...+(-1)^{k+1}x^{2^k+1}$

$lim_{x\rightarrow 1} f'(x)= \pm \inf$

el límite oscila entre el $+inf$ $-inf$ significa que cruza el eje x repetidamente número infinito de veces, esto puede ser demostrado por reccurence pero permite hacerlo de manera fácil, ya que no es el objetivo de esta pregunta.

para demostrar que $f'(x)$ cambios diection infinitamente basta para demostrar que $lim_{x\rightarrow 1} f'(x) \neq f'(1) $

$f'(x=1)=f'(x²=1)=1-2(x=1)f'(x²=1)$

$f'(1)=1-2f'(1)$

$f'(1)=\frac{1}{3}$

f'(x) tiene un promedio límite entre el $+\inf$ $-\inf$ que no es uno de esos, que es una evidente prueba de que $0.5$ no es el verdadero límite de $f(x)$.

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Ahora vamos a encontrar a la misteriosa límite.

$$xf'(x) = x-2x²+4x^4 ...$$

$$x²f'(x²) = x²-2x^4 +4x^8..$$

$$....$$

$$x^n f'(x^n) = x^n-2x^{2n}+4x^{4n}...$$

So,

$$f(x) = xf'(x) + x²f'(x²)-x^4f'(x^4)...$$

$$f(x) = xf'(x) + \frac{x(f'(x)-1)}{(-2)} - \frac{x(f'(x)-1+2X)}{2²}+\frac{x(f'(x)-1+2X-4x^3)}{-2^3} ... $$

the derived $f'(x)$ is nil when $f(x)$ is at the level of either its lower or higher summit, lets denote $x_0$ the group of abscissas where the curve of $f(x)$ changes direction from $l+\delta$ to $l-\delta$.

$f(x_0)=l \pm \delta $ means $f'(x_0)=0$

as $f'(x_0)=0$ at any $x_0$ where $f(x)$ reaches its upper or lower summit $l+\delta$ or $l-\delta$,

$$f(x_0) = x+ \frac{x_0(-1)}{(-2)} - \frac{x_0(-1+2x_0)}{2²}+\frac{x_0(-1+2x_0-4x_0^3)}{-2^3} ... $$

and since $x_0\rightarrow 1$,

$$\lim_{x_0\rightarrow 1} f(x_0)=(\frac{1}{2}+\frac{1-2}{2²}+\frac{1-2+4}{2^3}+...)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{8}-\frac{5}{15}+\frac{11}{32}-...=0.333 or 0.666$$

el misterioso límites son:

$l=\frac{1}{2} \pm (\frac{1}{6}) $

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si tomamos una mirada más profunda (usando el último trigonométricas lupa) en funciones de $f(x)$ $f(x_0)$ notemos notable coincidencia

$f(x)=x+\sum_k {(-1)^k x^{2^k}}$

$f(x_0)=x_0.\sum_k (\frac{1}{2^k} \sum_l ((-1)^l 2^l x_0^{2^l-1})$

syms k;syms l;x=-1:0.1:1;
for i=1 : 1000
f=@(x) sin((1/i.*(x-1)+1./2).*pi);
y=@(x,n) f(x)+symsum(((-1).^k).*(f(x).^(2.^k)),k,1,n);
yy=@(x,n) f(x).* symsum((1./2.^k).*symsum((-1).^l.*2.^l.*f(x).^(2.^l-1),l,0,k-1),k,1,n);
a=plot(x,y(x,i),'Color', [0.5, 1.0, 0.0], 'LineStyle', '--');
hold on;
b=plot(x,yy(x,i+1),'Color', [1.0, 0.0, 0.5]);
set(gca, 'XLim',[-1 1], 'YLim',[-1 2]);
grid;
pause(0.1);
delete(a);
delete(b);
grid;
end

la similitud de dos curvas:

syms x;syms k;syms l;
for i=1 : 1000
y=@(x,n) (x)+symsum(((-1)^k)*((x)^(2^k)),k,1,n);
yy=@(x,n) (x)* symsum((1/2^k)*symsum((-1)^l*2^l*(x)^(2^l-1),l,0,k-1),k,1,n);
a=ezplot(y(x,i));
set(gca, 'colororder', [1, 0.5, 0.753;0.5, 0.5, 1;1, 1, 0.753]);
hold on;
b=ezplot(yy(x,i+1));
set(gca, 'colororder', [0.1, 0.3, 0.53;0.35, 0.85, 1;1, 0.1, 0.73]);
legend({'y' 'yy'}, 'Location','NorthWest')
grid;
pause(0.1);
delete(a);
delete(b);
grid;
end

las instantáneas: ($f_n(x)$,$f_{n+1}(x_0)$)

n=1

n=3

n=6

n=9

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• nota:

-Sé que tiene una alta probabilidad de estar equivocado pero, que es bien argumentaron, y cualquier críticos deben ser también argumentaron. gracias.