Encontrando este extraño límite que involucra funciones periódicas con períodos 5 y 10.

Question

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones periódicas con períodos 5 y 10 respectivamente, tales que $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to0}\frac{g(x)}x=k;\quad k>0$$ entonces para $n\in\mathbb N$ El valor de : $$\lim_{n\to\infty}\frac{f(5(4+\sqrt{15})^n)}{g(10(4+\sqrt{14})^n)}$$ .

Nota: Todo debe hacerse a mano, no se permite ningún dispositivo/software de claculación/trazado, etc.

Lo que he pensado es hacer tal función: $$f(x)\propto\sin\frac{2\pi x}{5}\qquad g(x)\propto\sin\frac{2\pi x}{10}$$ Pero la condición para el límite en cero no puede ser satisfecha de ninguna manera desde aquí.

También: $$5(4+\sqrt{15})^n=5\times4^n(1+\sqrt{15}/4)^n\sim 5\times4^n+5\times4^n\times n\sqrt{15}/4+...$$ cuando $5\times4^n\in\mathbb Z$ Entonces, por la periodicidad: $$f(5\alpha+\beta)=f(\beta)\qquad \alpha\in\mathbb Z,\beta\in\mathbb R_{|\beta|<5}$$ Y luego: $$L=\lim_{n\to\infty}\frac{f(5\times4^nn\sqrt{15}/4+\cdots)}{g(10\times4^nn\sqrt{14}/4+\cdots)}$$ Pero esto no conduce a ninguna parte, ya que quería aplicar L'Hospital o retener sólo el $(\beta, |\beta|<5)$ parte, pero :D.

Answer 1

El truco es que los conjugados [conjugados de Galois, no conjugados complejos] de $4+\sqrt{15}$ y $4+\sqrt{14}$ tienen un módulo inferior a $1$ y si $a,b\in \mathbb{Z}$ entonces

$$(a+\sqrt{b})^n + (a-\sqrt{b})^n \in \mathbb{Z}$$

para todos $n\in \mathbb{N}$ .

Así que tenemos

\begin{align} f\bigl(5(4+\sqrt{15})^n\bigr) &= f\Bigl(5\bigl((4+\sqrt{15})^n + (4-\sqrt{15})^n\bigr) - 5(4-\sqrt{15})^n\Bigr) = f\bigl(-5(4-\sqrt{15})^n\bigr),\\ g\bigl(10(4+\sqrt{14})^n\bigr) &= g\Bigl(10\bigl((4+\sqrt{14})^n + (4-\sqrt{14})^n\bigr) - 10(4-\sqrt{14})^n\Bigr) = g\bigl(-10(4-\sqrt{14})^n\bigr). \end{align}

Ahora los argumentos de $f$ resp. $g$ convergen a $0$ para $n\to \infty$ y

\begin{align} \frac{f\bigl(5(4+\sqrt{15})^n\bigr)}{g\bigl(10(4+\sqrt{14})^n\bigr)} &= \frac{f\bigl(-5(4-\sqrt{15})^n\bigr)}{g\bigl(-10(4-\sqrt{14})^n\bigr)}\\ &= \underbrace{\frac{f\bigl(-5(4-\sqrt{15})^n\bigr)}{-5(4-\sqrt{15})^n}}_{\to k}\cdot \underbrace{\frac{-10(4-\sqrt{14})^n}{g\bigl(-10(4-\sqrt{14})^n\bigr)}}_{\to \frac{1}{k}}\cdot \underbrace{\frac{5(4-\sqrt{15})^n}{10(4-\sqrt{14})^n}}_{\to 0}\\ &\to 0 \end{align}

desde $0 < 4-\sqrt{15} < 4-\sqrt{14}$ . Si hubo un error tipográfico y la potencia en el argumento debería haber sido $(4+\sqrt{15})^n$ para ambos, $f$ y $g$ entonces el límite sería $\frac{1}{2}$ .