¿Cómo puedo calcular el límite de exponencial dividido por factorial?

Question

Sospecho que este límite es 0, pero ¿cómo puedo probarlo?

$$ \lim_ {n \to + \infty } \frac {2^{n}}{n!}$$

Answer 1

La forma más fácil de hacerlo es hacer lo siguiente: Supongamos que $n \ge 4$ . Luego $$0 \le \frac {2^n}{n!} = \prod_ {i=1}^n \frac {2}{i} = \frac {2 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \prod_ {i=4}^n \frac {2}{i} \le \frac {8}{6} \cdot \prod_ {i=1}^n \frac {2}{4} = \frac {8}{6 \cdot 2^{n-3}}.$$ La aplicación del teorema de compresión da el resultado.

Answer 2

Es muy fácil demostrar con la prueba de proporción que $ \sum_ {i=0}^ \infty \frac {2^n}{n!}$ converge. De ello se deduce que el límite $ \lim_ {n \rightarrow\infty } \frac {2^n}{n!} = 0$ .

Answer 3

Supongamos que $n \ge4 $ entonces $$n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \underbrace {4}_{2 \cdot 2} \cdot 5 \cdot \cdots \cdot n \tag {1}$$ y $$2^n=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2 \tag {2}.$$

Así que cada factor en $(1)$ es mayor o igual que cada factor en $(2)$ .

Answer 4

Pista: Muestra que $ \displaystyle\frac {2^n}{n!} \le C \cdot\left ( \frac 24 \right )^n$ para casi todos $n$ .

Answer 5

Usando Aproximación de Stirling $$ \lim_ {n \to + \infty } \frac {2^{n}}{n!} = \lim_ {n \to + \infty } \exp ( \ln (2^n/n!)) = \lim_ {n \to + \infty } \exp (n \ln 2 - n \ln n + n - O( \ln n )) = 0$$