Probar la existencia de la transformación de Laplace de $2te^{t^2}\cos(e^{t^2})$

Question

Traté de calcular directamente la integral, pero me fue imposible y wolfram alpha dice que no puede encontrar la respuesta en términos de primaria integrales. Cómo puedo probar la existencia de la transformada de Laplace sin calcular directamente? Consejos útiles que me lleva a la respuesta será aceptada como la respuesta(y yo realmente prefiero este categóricamente afirmando. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Metí la pata y poner el malo de la función en el título inicialmente - que debe ser la derivada de la función me dio. Lo siento por perder el tiempo de la gente.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(t)=\frac{d}{dt}\sin(e^{t^2})=2te^{t^2}\cos(e^{t^2})$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \int_0^R f(t)e^{-st}\,dt&=\int_0^R e^{-st}\frac{d}{dt}\sin(e^{t^2})\,dt\\\\ &e^{-sR}\sin(e^{R^2})-\sin(1)+s\int_0^R \sin(e^{t^2})e^{-st}\,dt \end {Alinee el} $$

La función $\sin(e^{t^2})e^{-st}\in C[0,R]$ y por lo tanto integrable en $[0,R]$ $\text{Re}(s)>0$. Por otra parte, podemos escribir para $\text{Re}(s)>0$

$$\begin{align} \left|\int_0^R \sin(e^{t^2})e^{-st}\,dt\right|&\le \int_0^R e^{-st}\,dt\\\\ &=\frac{1-e^{-sR}}{r}\to \frac1s \end {Alinee el} $$

Por lo tanto, $\text{Re}(s)>0$, $\int_0^\infty \sin(e^{t^2})e^{-st}\,dt$ existe como una integral de Riemann incorrecta y es finito y $\int_0^\infty 2te^{t^2}\cos(e^{t^2})e^{-st}\,dt$ también existe y es finito como una integral de Riemann incorrecta.

Answer 2

Esta es una respuesta a la pregunta original sobre la transformada de Laplace de $\sin(e^{t^2})$.
Te recomiendo el OP para tratar de evitar en el futuro preguntas chamaleon y simplemente formular una nueva pregunta.

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Para cualquier $s>0$ la integral

$$ (\mathcal{L}f)(s)=\int_{0}^{+\infty}\sin(e^{t^2})e^{-st}\,dt $ $ es finito desde $\left|\sin(r)\right|\leq 1$ para cualquier $r\in\mathbb{R}$ y $\int_{0}^{+\infty}e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}$ es finito.
Tenemos % $ $$ (\mathcal{L}f)(s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(e^t)}{\sqrt{t}}e^{-s\sqrt{t}}\,dt = \frac{1}{2}\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(u)\,du}{ u\,e^{s\sqrt{\log u}}\sqrt{\log u}}$que es convergente por la prueba de Dirichlet demasiado, ya que tiene una limitada $\sin u$ primitivo mientras que $u\,e^{s\sqrt{\log u}}\sqrt{\log u}$ es una función creciente en $(1,+\infty)$.

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$2te^{t^2}\cos(e^{t^2}) = \dfrac{d}{dt} \sin(e^{t^2})$$

Y que si $$\mathscr{L}\{f(t)\} = F(s)$ $ después $ de $$\mathscr{L}\{f'(t)\} = sF(s) -f(0)$

y también tal vez aplicar fundamentos de @Mark_Viola de por qué debe existir F(s).