$u_{xx} − 7u_{tx} + 12u_{tt} = 0$ (Ecuaciones diferenciales)

Question

$u_{xx} − 7u_{tx} + 12u_{tt} = 0$, $−1<x<1$, $t>0$, $u(0,x) = x^2$, $u_t(0,x) = e^x$ para x≥0

Intento (Método de Factorización): Factorización del operador diferencial, $0 = (∂^2/∂x^2)u - 7(∂/∂x)(∂/∂t)u + 12(∂^2/∂t^2)u = (∂^2/∂x^2 + 2(∂/∂x)(∂/∂t) + ∂^2/∂t^2)(u – (7/2)u + 12u) = (∂/∂x + ∂/∂t)^2(19/2)u = ∇^2(19/2)u = ∇^2U(x,t)$ where $U = (19/2)u$

$∂^2U/∂x^2 + ∂^2U/∂t^2 = 0$

$U(x,t) = f(x)g(t)$ donde $f(x) = U(0,x) = (19/2)u(0,x) = 19x^2/2$

$(∂^2/∂x^2)(f(x)g(t)) + (∂^2/∂t^2)(f(x)g(t)) = 0$

$f''(x)g(t) + f(x)g''(t) = 0$

Set $g(t) = a(x)sin(t) + b(x)cos(t)$,

$g''(t) = -a(x)sin(t) – b(x)cos(t)$

$f''(x)(a(x)sin(t) + b(x)cos(t)) - f(x)(a(x)sin(t) + b(x)cos(t)) = 0$

$(a(x)sin(t) + b(x)cos(t))(f''(x) – f(x)) = 0$

$(a(x)sin(t) + b(x)cos(t))(19 – 19x^2/2) = 0$

$(a(x)sin(t) + b(x)cos(t))(2 – x^2) = 0$

He oído que para resolver la ecuación de Laplace $∇^2U(x,t) = 0$ lo necesario para arreglar los términos para obtener el $f''(x)/f(x) = -g''(t)/g(t)$, pero ¿cómo ayuda esto a nosotros?

Pero entonces tenemos una(x) = b(x) = 0, de modo que g(t) = 0 y por lo tanto U = u = 0, lo que no satisface la condición inicial.

El profesor dice que el uso de las coordenadas del método; ¿de dónde se producen?

Answer 1

No creo que es una factorización: usted comienza con una ecuación de segundo grado y al final con un otro con el mismo grado. Si usted necesita seguir la idea de factorizar la ecuación, esto es:

La ecuación factorizes: $(\partial_x-4\partial_t)(\partial_x-3\partial_t)u=0$. Separables en dos ecuaciones de grado uno.

Así, tenemos que una solución es una suma de dos único argumento el doble de funciones diferenciables, $f$ satisfactorio el primer factor y $g$ la satisfacción de la segunda: $(\partial_x-4\partial_t)f=0$ $(\partial_x-3\partial_t)g=0$

La solución general es: $u(t,x)=f(4x+t)+g(3x+t)$

A partir de aquí se imponen las condiciones de contorno. Algunos manipulación formal será suficiente.

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Agregó

$u(0,x)=x^2=f(4x)+g(3x)\tag 1$

$u_t(0,x)=e^x=f'(4x)+g'(3x)\tag 2$

La diferenciación de $(1)$ $4f'(4x)+3g'(3x)=2x\implies g'(3x)=(2/3)x-(4/3)f'(4x)$

Sustituyendo en la $(2)$ $f'(4x)+(2/3)x-(4/3)f'(4x)=e^x\implies f'(4x)=2x-e^x$

$$f'(x)=x/2-3e^{x/4}$$

La integración, $f(x)=x^2/4-12e^{x/4}+C$ y de nuevo con $(1)$

$g(3x)=x^2-4x^2+12e^x$ $g(x)=-x^2/3+12e^{x/3}$

Pero por $(1)$, $C=0$

Finalmente,

$$u(t,x)=(4x+t)^2/4-(3x+t)^2/3+12(e^{(3x+t)/3}-e^{(4x+t)/4})$$

Answer 2

Aún más fácil. Dado que los coeficientes de la PDE son constantes, vamos a $u = C \exp(\alpha x + \beta t)$ por unos pocos reales $\alpha$$\beta$. Conectando de nuevo en la ecuación conduce a

$$ (\alpha/\beta)^2 - 7 (\alpha/\beta) + 12 = 0$$

que tiene como solución de $\alpha/\beta = 4$ o $\alpha/\beta = 3$. Por lo tanto, se puede expresar la solución como

$$ u(x,t) = C_1 \exp[\beta ( 4 x + t)] + C_2 \exp[\beta(3x + t) ]$$

con $C_i$ constantes de integración. Esta solución es válida en todos los rangos posibles de $\beta$. Por otra parte, la superposición de todas las soluciones posibles para cada $\beta$ es también una solución para que pueda integrar más de $\beta$ y decir:

$$u(x,t) = C_1 \int_\beta \exp[\beta ( 4 x + t)] \mathrm{d} \beta + C_2 \int_\beta \exp[\beta ( 3 x + t)] \mathrm{d} \beta = F(4x+t) + G(3x+t) $$ where $F$ and $G$ are arbitrary functions of their arguments. You can see the integrals as some Fourier-like transforms of functions of the arguments $4x+t$ and $3x+t$.

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Sé que la última frase no es muy riguroso, pero me temo que no puedo hacerlo mejor en la explicación de la misma. Lo siento por eso.