Convergencia de una secuencia a un valor y no otro.

Question

Yo estaba jugando con la siguiente ecuación y se produjo una infinita anidada fracción:

$$ (x-6)(x-3)=0 $$ $$ x^2-9x+18=0 $$ $$ x=9-\frac{18}{x} $$ $$ x=9-\frac{18}{9-\frac{18}{9-\frac{18}{...}}} $$

Claramente: $$ x=3 \text{ o } x=6 $$ Pero cuando se calcula la fracción de un número finito de nuber de términos, podemos notar que: $$ 9-\frac{18}{9-\frac{18}{9-\frac{18}{...}}}\to6 $$ ¿Por qué no tienden a $3$?

Nota: he notado un comportamiento similar en otras fracciones y parece que tienden a la mayor de las dos posibilidades. Algunos pensamientos sobre esto será muy apreciado.

Answer 1

Se ha encontrado que el % de asignación $x\mapsto f(x)=9-18/x$tiene el % de dos puntos fijos $3$y $6$. $3$, El derivado ($18/x^2$) tiene valor $18/9=2$, de modo que (para $\varepsilon$ pequeña), $3+\varepsilon\mapsto f(3+\varepsilon)\sim f(3)+2\epsilon=3+2\epsilon$, que se consigue más lejos $3$ que comenzó. Por otro lado, utilizando la misma técnica, $f(6+\varepsilon)\sim f(6)+\frac12\varepsilon=6+\frac12\varepsilon$, en otras palabras obtiene cerca de $6$. Así $6$ es un atractivo punto fijo, y $3$ es repulsiva.