En primer lugar, tengo que dar algunas definiciones y la información de fondo:
Definir $h(x)=|x|$$x\in [-1,1]$. Extender esta función a $\mathbb R$ definiendo $h(x+2) = h(x)$. Aquí es un gráfico de $h$:
Ahora bien, si definimos $g(x) = \sum_{n=0}^\infty {1 \over 2^n}h(2^nx)$ $g$ es el Takagi función. Se puede probar que $g$ es continua y diferenciable. Hice ambas cosas. La continuidad de la siguiente manera fácilmente desde la M de Weierstrass de la prueba y no la diferenciabilidad primero se puede mostrar que para diádica puntos y, a continuación, para no diádica puntos.
Ahora estoy interesado en dos diferentes versiones modificadas de la Takagi función:
$$ g_1(x) = \sum_{n=0}^\infty {1\over 2^n}h(3^n x)$$ y $$ g_2(x) = \sum_{n=0}^\infty {1\over 3^n}h(2^n x)$$
Estos dos se ven fácilmente ser continua.
Podría alguien por favor, muéstrame cómo determinar la la diferenciabilidad de ambos $g_1$$g_2$? De verdad lo intenté, pero fracasó.