Vector matriz de diferenciación (para maximizar la función)

Question

¿cómo puedo calcular la derivada de las siguientes. Quiero saber la derivada de modo que yo pueda maximizar.

$$ \frac{x^Impuestos}{x^TBx} $$

Tanto el matricies a y B son simétricas. Sé que el derivado de la $\frac{d}{dx}x^TAx = 2Ax$. No han sido muy exitosos aplicando el cociente regla de la anterior aunque. Agradezco la ayuda. Gracias!

EDIT: En respuesta a "¿Qué va mal cuando la aplicación de la regla de la cadena". Sabemos que: $$ \frac{d}{dx}\frac{u}{v} = \frac{vu' - uv'}{v^2} $$ Que me iba a dar: $$ \frac{2x^TBxAx - 2x^TAxBx}{x^TBx^2} \,\, \frac{2Axx^TBx - 2Bxx^Impuestos}{(x^TBx)^2} $$

En el primer caso las dimensiones no están de acuerdo. En el segundo lo hacen, pero yo no quiero suponer que es correcto sólo porque las dimensiones de acuerdo. Si es correcto, por favor hágamelo saber!

Answer 1

Ambas expresiones son correctos, a la ausencia de algunos paréntesis, en el siguiente sentido: Para cada una de las $i$,$\frac{\partial}{\partial x_i}(x^TAx) = 2(Ax)_i$$\frac{\partial}{\partial x_i}(x^TBx) = 2(Bx)_i$, por lo que el cociente de la regla nos dice que

$$\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{x^TAx}{x^TBx} = \frac{2(Ax)_i(x^TBx) - 2(Bx)_i(x^TAx)}{(x^TBx)^2}.$$

Esto puede ser por escrito, si usted interpretar $d/dx$ como gradiente, como

$$\frac{d}{dx}\frac{x^TAx}{x^TBx} = \frac{2Ax(x^TBx) - 2Bx(x^TAx)}{(x^TBx)^2} = \frac{2Axx^TBx - 2Bxx^TAx}{(x^TBx)^2},$$ así que su segunda expresión es correcta.

Desde $(x^TAx)$ $(x^TBx)$ son solo números, si se deja en el interior de su paréntesis se pueden multiplicar un vector o matriz de cada lado. Por tanto, la primera expresión también es correcto si usted está seguro de dejar en el paréntesis:

$$\frac{d}{dx}\frac{x^TAx}{x^TBx} = \frac{2(x^TBx)Ax - 2(x^TAx)Bx}{(x^TBx)^2}.$$

Answer 2

Utilice hypoograph/epígrafe técnica para maximizar/minimizar la relación. Por ejemplo

$\min_x \frac{x^T A x}{x^T B x}$

$ \equiv \min_{x,t} t$

$ \text{ subject to }$

$ {x^T A x}\leq t(x^T B x),t>0$.

Luego formar una Lagrangain para solucionar para el óptimo.