Condiciones para que la secuencia sea débilmente convergente

Question

Sea $H=\ell_2$ sea el espacio de Hilbert de las secuencias cuadrado-sumables donde $$ \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{\infty}x_iy_i, \quad \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. $$ Sea $F: H\rightarrow H$ ser un cartografía afín es decir $$ F[\lambda u+(1-\lambda)v]=\lambda F(u)+(1-\lambda)F(v), \quad \forall u,v\in H, \lambda\in \mathbb{R}. $$ Sea $\{u^k\}$ sea una secuencia dada por $$ u^{k+1}=F(u^k) \quad k\in\mathbb{N}, $$ donde $u^0$ es un punto cualquiera de $H$ . Encuentre las condiciones en $F$ y $u^0$ tal que $\{u^k\}$ es débilmente convergente pero no fuertemente convergente.

Por ejemplo. Si $u^0=(1,0,0,\ldots,0,\ldots)$ y $F(u)$ viene dada por $$ F(u)=(0,u_1, u_2, \ldots, u_n, \ldots) \quad \forall u=(u_1,u_2,\ldots, u_n, \ldots)\in H. $$ La secuencia $\{u^k\}$ generado por la fórmula $u^{k+1}=F(u^k)$ viene dada por $$ u^0=(1,0,\ldots, 0,\ldots), \quad u^1=(0,1,0,\ldots, 0, \ldots), \ldots, u^n=(0,0,\ldots, 1, 0, \ldots),\ldots $$ es débilmente convergente pero no fuertemente convergente a $0\in H$ .

Answer 1

Creo que la pregunta es demasiado amplia para encontrar una respuesta sencilla. En cualquier caso, limitémonos a la lineal, acotada $F$ . Es posible que $||F|| > 1$ y $u^0$ según tu descripción, pero creo que sería difícil encontrar criterios en ese caso (genéricamente, me imagino que $||F^nx||$ corre a $+\infty$ así que $F^nx$ no converge débilmente por un teorema clásico, y la única forma de evitarlo es restringir $F$ a un subespacio del que es una contracción, pero entonces podríamos empezar por ahí)

Un resultado que puede resultarte relevante es la descomposición Jacobs-Glicksberg-de Leeuw (un gran libro que menciona este teorema es Eisner's Estabilidad de operadores y semigrupos de operadores ), que dice que $H$ se divide en una suma directa de $H_r = \operatorname{span}\{x \in H \ : \ F x = \gamma x \text{ for some $ \gamma \in \mathbb{C} $ with $ |\\gamma| = 1 $ } \}$ y $H_s = \{x \in H \ : \ 0 \text{ is a weak accumulation point of } \{F^nx\}_n \}$ . Esto significaría que si $F$ no tiene valores propios en el círculo unitario (y probablemente no queramos eso en ningún caso), entonces $F^n x$ tiene $0$ como punto de acumulación, para cualquier elección de $x$ .

No es exactamente lo que quieres -el punto de acumulación aún no es el límite-, pero espero que te sirva de ayuda.