Demostrar que el intervalo de $[a,b]$ $\Bbb R$ es el mismo que el segmento $[a,b]$ $\Bbb R^1$

Question

Demostrar que el intervalo de $[a,b]$ $\Bbb R$ es el mismo que el segmento de $[a,b]$$\Bbb R^1$. Es decir,

$\{x\in\Bbb R: a\le x\le b\} = \{y\in\Bbb R: \exists s,t\in [0,1], s+t=1\text{ and } y=sa+tb\}$

Yo estaba tratando de resolver de la siguiente manera. Vamos a denotar $A= \{x\in\Bbb R: a\le x\le b\}$ y $B= \{y\in\Bbb R: \exists s,t\in [0,1], s+t=1\text{ and }y=sa+tb\}$. Entonces yo quería mostrar,$A\subseteq B$$B\subseteq A$$A = B$.

Para el $B\subseteq A$ hice lo siguiente:

$y=sa+tb=sa+(1-s)b=s(a-b)+b$ que es obviamente de $[a,b]$ (como cuando se $s=0$ $y=b$ e al$s=1$$y=a$). Por lo $B\subseteq A$.

Para $A\subseteq B$ traté de mostrar que si $x\in [a,b]$, entonces podemos expresar $x=a+(b-a)k, k\in [0,1]$

a continuación, $x=a(1-k)+bk$

Diciendo que $(1-k)=t$ $k=s$ podemos concluir que $A\subseteq B$.

A mí me parece que la segunda parte es incorrecta, pero, por desgracia, no puedo calcular lo que se debe hacer aquí.

Answer 1

Nota: la siguiente es una prueba. Si desea probar por tu cuenta, te recomiendo mirar a través de los comentarios por encima sin leer este post.

Para mostrar que $B\subseteq A$, simplemente Observe que todos $s,t\in[0,1]$ $s+t=1$ tenemos $$ a = (s+t)a = sa+ta \le sa+tb \le sb+tb = (s+t)b = b, así $sa+tb\in A$. Por lo tanto, $B\subseteq A$.

Para demostrar que $A\subseteq B$. Tomar cualquier $x$ $a\le x\le b$. Que $\lambda = \frac{x-a}{b-a}\in[0,1]$. Luego Observe que $1-\lambda = \frac{b-x}{b-a}$% #% $#% y así dejar$$(1-\lambda) a + \lambda b = \frac{b-x}{b-a}\cdot a + \frac{x-a}{b-a}\cdot b = \frac{ba-xa+sb-ab}{b-a} =\frac{(b-a)x}{b-a}=x.$ $s=1-\lambda$, es claro que $t=\lambda$. Por lo tanto, $x=sa+tb\in B$. Juntando estas cosas encontramos que el $A\subseteq B$.