Funciones hipergeométricas y integral

Question

Estoy teniendo dificultades para volver a derivar un resultado de un cálculo a partir de un papel. La integral es $$\int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\sinh\eta}{(\cosh\eta-\cos\theta)^2}\left(1-c\sinh^2\eta\sin\phi\right)^\frac12d\theta d\phi,$$ donde $\eta$ $c$ son parámetros que $\sinh^2\eta = 2$ $c\sinh^2\eta < 1.$

Por lo que he leído acerca de las funciones hipergeométricas, uno podría potencialmente evaluar este uso de las integrales elípticas de primera y segunda clase, \begin{align*} K(z) &= \int_0^{\pi/2} (1-z^2\sin^2 t)^{-1/2} dt \\ E(z) &= \int_0^{\pi/2} (1-z^2\sin^2 t)^{1/2} dt. \end{align*} Estos pueden ser escritos en hipergeométrica forma como \begin{align*} K(z) &= \frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z^2)\\ E(z) &= \frac{\pi}{2}F(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z^2). \end{align*} El resultado esperado de la integral es $$S = 8\pi^2 \frac{b^2}{a} G_1(c/a).$$ donde $a = \sqrt{c^2+b^2}$ y $$G_1(x) = F(3/2,1/2,1;x^2)+x^2/2F(3/2,3/2,2;x^2).$$

He intentado hacer esto, pero soy inexperto en estos cálculos y se va a tomar algo de tiempo. Voy a seguir trabajando en ello, pero me preguntaba si alguien podría echar un vistazo y decirme si soy o incluso de ir sobre esto en el camino correcto.

Mejor,

Michael

Answer 1

Saliendo del comentario de Peter, tenga en cuenta que su integral es separable , y por lo tanto se puede factorizar en un producto de dos integrales unidimensionales:

ps

La primera integral es elemental:

ps

mientras que el segundo requiere los servicios de la integral elíptica incompleta del segundo tipo$$\begin{split}&\int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\sinh\eta}{(\cosh\eta-\cos\theta)^2}\left(1-c\sinh^2\eta\sin\phi\right)^\frac12\mathrm d\theta\mathrm d\phi=\\&\quad\left(\color{green}{\sinh\eta\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm d\theta}{(\cosh\eta-\cos\theta)^2}}\right)\left(\color{blue}{\int_0^{2\pi} \sqrt{1-c\sinh^2\eta\sin\phi} \mathrm d\phi}\right)\end{split}$ (vea Byrd y Friedman , fórmula 288.01 para la identidad requerida):

$$\color{green}{\sinh\eta\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm d\theta}{(\cosh\eta-\cos\theta)^2}}=\frac{2\pi\cosh\,\eta}{\sinh^2\eta}$