¿Cómo invertir una matriz de Toeplitz con bandas muy regular?

Question

¿Cuál es la mejor manera de invertir una matriz Toeplitz simple de la siguiente forma?

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & a & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\\ a & 1 & a & \ddots & & \vdots \\\ 0 & a & 1 & \ddots & \ddots& \vdots \\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a & 0\\\ \vdots & & \ddots & a & 1 & a\\\ 0 & \ldots & \ldots & 0 & a & 1 \end {bmatrix} $$

Answer 1

Por lo general, una descomposición propia es la forma menos eficiente de generar el inverso de una matriz, pero en el caso de la matriz simétrica tridimensional de Toeplitz, tenemos la buena autodecomposición $\mathbf A=\mathbf V\mathbf D\mathbf V^\top$, donde$$\mathbf D=\mathrm{diag}\left(1+2a\cos\frac{\pi}{n+1},\dots,1+2a\cos\frac{k\pi}{n+1},\dots,1+2a\cos\frac{n\pi}{n+1}\right)$$ and $ \ mathbf V$ is the symmetric and orthogonal matrix whose entries are $$v_{j,k}=\sqrt{\frac2{n+1}}\sin\frac{\pi jk}{n+1}$$ Thus, to generate the inverse, use $ \ mathbf A = \ mathbf V \ mathbf D ^ {- 1} \ mathbf V ^ \ top $, e invertir una matriz diagonal es tan fácil como reciprocando las entradas diagonales.