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Question

ps

Intenté la sustitución y por partes, y parece que falló. ¿Alguien puede darme algunas pistas?

Answer 1

$$I = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x}\tan\left(x - \frac{1}{x}\right)dx = \int_{2}^{\frac{1}{2}}u\cdot \frac{-1}{u^2}\tan\left(\frac{1}{u}-u\right)du = -\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{u}\tan\left(u - \frac{1}{u}\right)du = -I$ $ Donde se obtuvo el segundo paso dejando$\displaystyle x = \frac{1}{u}, dx = \frac{-1}{u^2}du$.

Desde que tenemos $I = -I$.

Answer 2

Deje$$I = \int_{1/2}^{2}\frac{1}{x}\tan \left(x-\frac{1}{x}\right)dx$ $

Ponga$x=e^t$, luego$t=\ln(x)$ y$dx=e^t\,dt$, cambiando los límites, obtenemos$$I = \int_{-\ln(2)}^{\ln(2)}\underbrace{\tan\left(e^{t}-e^{-t}\right)}_{\bf{Odd\; function}}dt = 0$ $

Answer 3

Deje$$\displaystyle I = \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x}\cdot \tan \left(x-\frac{1}{x}\right)dx$ $

Ahora deja$\displaystyle\left(x-\frac{1}{x}\right) = t\;,$ Then$\displaystyle \left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx = dt\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)dx = xdt$

y Cambiando Límites

Ahora usando$$\displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 -\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=4\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)=\sqrt{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+4}=\sqrt{t^2+4}$ $

Entonces integral$$\displaystyle I = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}\tan t\cdot \frac{1}{\sqrt{t^2+4}}\cdot \frac{x}{x}dt = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}\tan t\cdot \frac{1}{\sqrt{t^2+4}}dt$ $

Entonces obtenemos$$\displaystyle I = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}\underbrace{\frac{\tan t}{\sqrt{t^2+4}}}_{\bf{odd\; function}}dt = 0$ $

Arriba hemos utilizado la fórmula$$\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)dx = 0\;,$$ If $ f (x) $ es una función impar.