¿Es posible pasar funciones a otras funciones en matemáticas?

Question

Quiero ser franco con ustedes y decir que mi educación matemática fue un poco... bleh, así que estoy aprendiendo un montón de cosas últimamente, una pregunta que ha venido por mí: "Es posible pasar de las funciones dentro de otras funciones?"

Como decir que tengo una función $g$ que se lleva a $2$ parámetros de $f$ $a$ donde $f$ es una función, y $a$ es cualquier persona física o número real (en realidad no importa en este caso), me gustaría, a continuación, utilice dos de los que más tarde en $g$'s definición... La función pasó a $g$ sería entonces, alterar levemente $g$'s comportamiento, lo $g$ más generales por dejarme pasar a otras funciones dentro de ella cada vez que iba a necesitar.

Es esto factible? Y podría incluso ser de cualquier uso de este en las matemáticas?

Tenga en cuenta que soy consciente de cómo de Orden Superior a Funciones de trabajo en la programación, no he tenido la más remota idea de si es o cómo se usan las matemáticas

Answer 1

Sí, es factible, y es útil también.

Tomemos, por ejemplo, 'el siguiente integral indefinida de la función", que voy a denotar por $I$. Toma tres argumentos:

• Un número real $a$
• Un número real $b$, $a < b$
• Una verdadera función con valores de $f$, la cual es definida y acotada en el intervalo de $a < x < b$

A continuación, definir $$I(a,b,f) = \int_a^b f(x)\, dx$$

Esta es una función como cualquier otro, y toma como argumento una función.

Usted puede incluso tener funciones que ambos toman en funciones como argumentos y escupir funciones después. Por ejemplo, hay una función en la clase de funciones reales diferenciables definidas por $$\dfrac{d}{dx} : f \mapsto f'$$ Se toma en función de $f$ y escupe sus derivados.

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Para el nitpickers: algunos de los requisitos arriba mencionados no son necesarios, tales como la estipulación de que los $a<b$ o incluso que $f$ ser un valor real o lo que sea. Pero esperemos que este es un ejemplo sencillo que ilustra el uso de una función de la clase el OP quiere.

Answer 2

Tenga en cuenta que puede interpretar las funciones normales $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ como esta todo el tiempo. Si

$$f(x)=x^2-3x$$

entonces

$$f(g(x))=g(x)^2-3g(x)$$

que podemos interpretar como

$$f(g)=g^2-3g$$

donde $g$ es ahora una función, en lugar de un número. En el final de la línea de $f$ es una función que toma una función $g$ como entrada y produce una función de $g^2-3g$ como de salida. De modo que la misma función puede ser considerado como capaz de operar en varios tipos en una totalmente sin ambigüedades (no son realmente la misma debido a que tienen diferentes dominios y codomains, pero esto puede ser hecho preciso). Vamos a ver más de esto si te metes en la programación funcional.

Answer 3

Sí. Las funciones que toman otras funciones como argumentos se llaman funciones de orden superior . Por ejemplo, g (f) podría devolver una función 2 * f (x) dada una función f (x).

Esto tiene muchos usos en ciencias de la computación y el resto de las matemáticas.

Answer 4

Esto es muy común. Ejemplos de funciones dicho mapa (o convertir) funciones dentro de otras funciones son "los"derivados" y "integral indefinida", que voy a escribir como, respectivamente, $D$ $\int$.

Ambos de estos tendría una función (como $x^2$) y la variable de diferenciación o la integración (como $x$) y el retorno de sus derivados o integral indefinida con respecto a esa variable.

A continuación, $D(x^2, x) = 2x$ y $\int(x^2, x) = x^3/3+c$ (donde $c$ es una constante arbitraria).

Tenga en cuenta que la variable es muy importante. Si no es la misma que la variable utilizada por la función, se obtienen resultados como $D(x^2, y) = 0$ y $\int(x^2, y) = y\ x^2+c$.

Answer 5

Puede definir la función real $f(x)$ en conjunto arbitrario. El truco es que las funciones de sí mismo puede ser considerado como demasiado.

Por ejemplo, usted puede obtener este famoso físico fórmula para la acción de la mecánica del sistema:

$$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L[\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t]\, dt$$

o geometical fórmula para la longitud de arco:

$$l = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx. $$

Esto se llama funcional. Se estudia mediante el análisis funcional y el cálculo de la variación. De interés Real y las aplicaciones tienen un lineal funcionales que statisfies:

$$\Phi[\mathbf f+\mathbf g] = \Phi[\mathbf f] + \Phi[\mathbf g]$$

$$\Phi[c\ \mathbf f] = c\ \Phi[\mathbf f]$$

Esto, por supuesto, no sólo de la aplicación de la idea de "función de función" en matemáticas. También hay un cálculo Lambda y el concepto de recursividad que está más relacionado con los ordenadores.