Me llegó a través de la conjetura de Collatz. Así que al parecer la idea es ver si todos los factores primos de un número puede ser "aniquilado" por los sucesivos pasos de la eliminación de un factor de dos, si n es par, o en caso de que no se transforme por un simple "(por ejemplo, lineal) transformación' a un número par. Ahora el algoritmo para hacer esto es:
Tome $n$ y generar la secuencia de $f^i(n)$, con
$$f(n) = \begin{cases} n/2 &\text{if } n \equiv 0 \pmod{2}\\ 3n+1 & \text{if } n\equiv 1 \pmod{2} .\end{cases}$$
Parece un problema difícil. Pensé en la siguiente versión simplificada:
$$g_0(n) = \begin{cases} n/2 &\text{if } n \equiv 0 \pmod{2}\\ n+1 & \text{if } n\equiv 1 \pmod{2} .\end{cases}$$
La primera pregunta es se puede demostrar que todas las secuencias de $g_0^i$ ir a órbitas $...,1,2,1,2,...$?
Creo que la respuesta debe ser afirmativa, ya que nunca va a ser miembros con los factores primos de más de $\sqrt{n}$, por lo que sólo hay una reserva limitada de posibles factores primos de todos y cada uno están recibiendo reducido por los pasos. Es que sobre la correcta?
La siguiente pregunta es ¿hasta dónde puede uno ir con tales variaciones en el algoritmo original 'approching el normal', Por ejemplo, ¿qué acerca de:
$$g_1(n) = \begin{cases} n/2 &\text{if } n \equiv 0 \pmod{2}\\ n+3 & \text{if } n\equiv 1 \pmod{2} .\end{cases}$$
o
$$g_2(n) = \begin{cases} n/2 &\text{if } n \equiv 0 \pmod{2}\\ n+(n+1)/2 & \text{if } n\equiv 1 \pmod{2} .\end{cases}$$
y así sucesivamente.
Otra extensión interesante sería una $abc$ variante:
$$g^j_{abc}(n) = \begin{cases} n/2 &\text{if } n \equiv 0 \pmod{2}\\ n+m^j & \text{if } n\equiv 1 \pmod{2} \end{cases}$$
para $m^j =$ el próximo-pero-$j$ primer de $n$.
Supongo que $g_1$ puede ser manejado con un argumento similar (en el caso de que sea la correcta) como lo he forrado para $g_0$. Para $g_2$ no estoy seguro, pero de alguna manera supongo que $f$ (el original) es algo así como el más simple de esta clase que no puede ser manejado con ese tipo de argumento (de lo contrario no sería un acertijo?).
