Cierre Algebraico vs. Integral de un Anillo

Question

Permita que$R\subseteq S$ sea una extensión de anillo. Es cierto que el conjunto de elementos de$S$ que son integrales sobre$R$ (es decir, que satisfacen una ecuación polinómica monica sobre$R$) es una subring de$S$.

¿Alguien puede proporcionar un ejemplo que muestre que el conjunto de elementos de$S$ que son meramente algebraicos sobre$R$ (es decir, que satisfacen cualquier ecuación polinómica sobre$R$) no es necesariamente un subtítulo de$S$?

Gracias.

Answer 1

Al menos en la integral de dominio caso, el "algebraico " cierre" de las formas de un sub-anillo así:

Suponga $R \subseteq S$ es una extensión de la integral de dominios. Denotar por $K, F$ la fracción campos de $R, S$ respectivamente. Luego tenemos las inclusiones $R \subseteq S \subseteq F$, $R \subseteq K \subseteq F$. Denotar por $B$ la clausura algebraica de $K$$F$, y por $A$ "algebraica cierre de $R$ $S$" (es decir, todas las raíces en $S$ de todas distinto de cero polinomios en $R$). El reclamo es que el $B \cap S=A$.

La inclusión $A \subseteq B \cap S$ es obvia debido a la inclusión de $R[x]\subseteq K[x]$. Tome $a \in B \cap S$. A continuación, $f(a)=0$ para algunos distinto de cero $f \in K[x]$. Entonces no es $g \in R[x]$ tal que $g(a)=0$ - sólo multiplicar todos los coeficientes de $f$ por su común denominador. Por lo tanto $a \in A$, por lo que la inclusión $B \cap S \subseteq A$ mantiene así.

Por lo tanto, nos expressd $A$ como una intersección de dos subrings de $F$, lo $A$ es un anillo (sub-anillo de $S$).