Clase Chern = Grado de Divisor?

Question

¿Es la primera clase chern lo mismo que el grado del Divisor?

Diga,$C$ es algún divisor en$M$, ¿es$c_1(\mathcal O (C)) = \text{deg }C$?

Y digo que tengo algún Divisor$D$ con la primera clase chern$c_1(\mathcal{O}(D)) = k[S]$ donde$[S]$ es una clase en$H^2(M)$. ¿Es cierto que la primera clase integral es solo$k\cdot \text{deg }S$?

Answer 1

Si $M$ es un complejo colector de dimensión $n$, la secuencia exacta de las poleas $$0\to\mathbb Z\to \mathcal O_M\to \mathcal O^*_M\to 0$$ los rendimientos de un morfismos de grupos en cohomology (parte de una larga secuencia exacta) $$c_1:H^1(M,\mathcal O^*_M)\to H^2(M,\mathbb Z)$$
Desde $H^1(M,\mathcal O^*_M)$ puede ser identificado a $Pic(M)$, el grupo de la línea de paquetes en $M$, obtenemos la morfismos $$c_1:Pic(M)\to H^2(M,\mathbb Z)$$
Este morfismos que coincide con la primera clase de Chern definido (por $C^\infty$línea de paquetes) en la geometría diferencial en términos de la curvatura de una conexión.

Ahora si $M$ es una superficie de Riemann compacta (= dimensión de $1$), podemos evaluar un cohomology de la clase $c\in H^2(M,\mathbb Z) $ en la clase fundamental$[M]$ de la superficie de Riemann $M$, obteniendo de esta manera un isomorfismo $I: H^2(M,\mathbb Z) \xrightarrow {\cong} \mathbb Z: c\mapsto \langle c,[M] \rangle$, que se compone con la primera clase de Chern de los rendimientos de los grados de la línea de paquetes: $$deg=I\circ c_1:Pic(M)\to \mathbb Z: L \mapsto deg(L)=\langle c_1(L),[M] \rangle$$

Por último, si $L$ está asociado a el divisor$D$ es decir $ L=\mathcal O(D)$, tenemos la grata a la tierra (pero altamente no tautológica!) fórmula $$deg(\mathcal O(D))=deg (D)$$
que dice que el grado de la izquierda, obtenido por la sofisticada geometría diferencial, puede ser calculado en un infantilmente simplemente calculando el grado del divisor $D\in \mathbb Z^{(X)}$ punto de vista puramente formalmente como un elemento de la libre abelian grupo en $X$.

Todo esto se explica en Griffiths-Harris, los Principios de la geometría algebraica, Capítulo 1.