Cómo mostrar $a+b+ad\geq c+d+bc$ dado $a\geq c$ y $a+b\geq c+d$ ?

Question

Dejemos que $0\leq a,b,c,d\leq 1$ y $a\geq c$ y $a+b\geq c+d$ . Demostrar que $a+b+ad\geq c+d+bc.$

Por supuesto, tenemos $a+b\geq c+d$ pero cómo relacionar $ad$ y $bc$ ?

Answer 1

Poner $x=a+b$ y $y=c+d$ . Entonces la desigualdad principal se convierte en: $$ x+a(y-c)\geq y+c(x-a)\implies (a-1)y\geq (c-1)x $$ pero la última desigualdad es trivial dado que $a,c<1$ y $x,y>0$ y también $x>y$ y $a>c$ . De hecho, $x>y>0$ y $0>a-1>c-1$ y por lo tanto multiplicando dos desigualdades podemos obtener el resultado final.

Answer 2

Set $a=c+h_1$ y $b=d+h_2$ .

Entonces, $a\geq c\iff h_1\geq0$

y $a+b\geq c+d\iff h_1+h_2\geq0$ .

Entonces, \begin{align} \\& a+b+ad\geq c+d+bc \\\iff& h_1+h_2\geq bc-ad=(d+h_2)c-(c+h_1)d=cd+ch_2-cd-h_1d \\\iff& h_1+h_2\geq ch_2-dh_1 \\\iff&h_1+dh_1+h_2(1-c)\geq0 \end{align}

Tenga en cuenta que $0\leq1-c\leq1$ .

Ahora, si $h_2\geq0$ entonces sí, $h_1+dh_1+h_2(1-c)\geq0$ ya que todos los términos son positivos.

Si $h_2<0$ entonces $h_1+dh_1+h_2(1-c)\geq h_1+dh_1+h_2\geq0$ desde $h_1+h_2\geq0$ y $d\geq0$ .