Encuentra el número de raíces racionales de$f(x)$

Question

Hay un polinomio$f(x)$ tal que su grado es 3. Todos los coeficientes de$f(x)$ son racionales. Si$f(x)$ es una tangente al$x$ eje, ¿cuál puede ser el número posible de raíces racionales de$f(x) = 0$

las opciones son: 0, 1, 2, 3, ninguno

Mi acercamiento :

Como y = 0 es una tangente a f (x), por lo tanto, 2 raíces son reales y las raíces imaginarias aparecen en pares, por lo que las 3 deben ser racionales.

Answer 1

Tienes razón en que los tres raíces debe ser real; pero, a continuación, saltar a la afirmación de que esta implica a todos los tres raíces (contando multiplicidad) son racionales. Es que realmente el caso?

Ya que tiene una doble raíz, $f(x)$ (a escala por un factor racional) puede ser escrita como $f(x) = (x-a)^2(x-b)$. Si $a=b$ $f(x)$ satisface la hipótesis, y es correcto esto permitiría $a$ es racional. Pero, ¿por qué? Debido a que el coeficiente de $x^2$$3a$, y si $3a$ es racional, entonces $a$ es racional.

Si $a\neq b$, entonces el coeficiente de $x^2$$2a+b$, el coeficiente de $x$$a^2+2ab$, y el coeficiente constante es $a^2b$. Si $a$ es racional, entonces también lo es $b$ desde $2a+b$ es racional; y si $b$ es racional lo es $2a$, por lo tanto también lo es $a$.

Podemos tener $a$ $b$ tanto irracional, y sin embargo $2a+b$, $a^2+2ab$, y $a^2b$ todos los racionales? Usted necesita demostrar que esto es imposible a la conclusión de que todas las tres raíces son racionales.

Answer 2

Para su tangencia problema, han demostrado que todas las raíces son reales. Pero no hay ninguna prueba de que todas las raíces racionales. Son.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el coeficiente de $x^3$$1$. Lo que yo haría es tener en cuenta que si nuestro polinomio $P(x)$ es tangente a la $x$-eje en$x=a$,$P(a)=P'(a)=0$.

Ahora dividir la cúbico $P(x)$$P'(x)$. El resto es un polinomio de grado en la mayoría de las $1$, con coeficientes racionales. Y $a$ es una raíz de este resto. Si el resto es distinto de cero, que muestra $a$ es racional, y por lo tanto también lo es el resto de la raíz.

Si el resto es $0$, entonces el cúbicos tiene forma de $(x-a)^3$, y por lo tanto $a$ es racional.

Nota: Para cualquier polinomio $P(x)$, el número de $a$ es un múltiplo de la raíz de $P(x)$ si y sólo si $a$ es una raíz común de la $P(x)$$P'(x)$. Esto es fácil de demostrar, pero muy útil.

Answer 3

El Teorema de Sturm pueda determinar el número de raíces reales de un polinomio tiene en cualquier intervalo de tiempo (o en la recta real). Racional, raíces, usted puede intentar el número finito de posibilidades dadas por Racionales Teorema de la Raíz.

Si usted está buscando para distintas raíces, dividir el polinomio por el MCD del polinomio y su derivada (obtenido mediante el Algoritmo de Euclides). Que se quite cualquier repetidos de raíces. Esto se hace antes de la aplicación del Teorema de Sturm, de todos modos.