Esta es probablemente una pregunta realmente estúpida, pero espero que sea cierta: ¿podemos encontrar una biyección entre cada conjunto cerrado incontable y R (línea numérica real)?
Respuestas
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Este es un buen resultado debido a Cantor que es bueno para que entiendan bien. Permítanme ampliar André Nicolás respuesta.
Necesitamos un poco de la teoría de conjuntos, en concreto, un trabajo de comprensión de $\omega_1$, la primera de innumerables ordinal.
1.
En primer lugar, tenemos el Cantor-Baire estacionaria principio: Supongamos que para cada contables ordinal $\alpha$ le asigna un conjunto cerrado $E_\alpha\subseteq\mathbb R$ de tal manera que $E_\alpha\supseteq E_\beta$ siempre $\alpha<\beta$. Debe existir una contables ordinal $\alpha_0$ tal que para todo $\alpha>\alpha_0$, $E_\alpha=E_{\alpha_0}$.
La idea de la prueba de este resultado es realmente simple (para más detalles, Kechris del libro en la Clásica descriptivo de la teoría de conjuntos es una excelente referencia): Si $E_\alpha\supsetneq E_{\alpha+1}$, existe un intervalo abierto $I_\alpha$ con racional de los extremos que se reúne $E_\alpha$ pero no $E_{\alpha+1}$. El uso que los conjuntos están disminuyendo, podemos asignar diferentes intervalos para diferentes números ordinales. Esto nos da lo que queremos, ya que sólo hay countably muchas de intervalos racionales extremos.
Este principio es aplicado en una variedad de lugares en el análisis. Por ejemplo, en la teoría de la Denjoy integral (aunque presentaciones modernas utilizar el Henstock–Kurzweil enfoque). La otra aplicación típica es desarrollar los resultados básicos conectado con el Cantor-Bendixson derivado, que es lo que necesitamos ahora.
2.
El (Cantor-Bendixson) derivado $E'$ de un conjunto $E\subseteq\mathbb R$ es el conjunto de límite de puntos de $E$. Desde $E$ y su cierre tienen el mismo límite de puntos, podemos muy bien suponer que los $E=E_0$ es cerrado. Ahora podemos formar una disminución de la secuencia de conjuntos cerrados $E_0\supseteq E_1\supseteq\dots\supseteq E_\alpha\supseteq\dots$ indexados con los contables ordinales, dejando $E_{\alpha+1}=E_\alpha'$, y de tomar las intersecciones de los conjuntos obtenidos hasta ahora en el límite de las etapas.
Por el Cantor-Baire estacionaria principio, debemos llegar a una etapa $\alpha$ tal que $E_\alpha'=E_\alpha$. Esto significa que cualquiera de $E_\alpha$ es un (no vacío) conjunto perfecto, o de lo $E_\alpha$ está vacía.
Ahora, para cualquier $E$ si $x\in E\setminus E'$, $x$ es un punto aislado de a $E$, lo $E\setminus E'$ es necesariamente contables. Esto significa que cualquier conjunto cerrado puede ser escrito como la unión de un contable de ajuste (es decir, la unión de los puntos aislados de la $E_\beta$$\beta<\alpha$) y de un conjunto que está vacío o perfecto (es decir, $E_\alpha$).
El resultado de este argumento es que si un conjunto cerrado es incontable, entonces necesariamente contiene un subconjunto perfecto.
3.
La conclusión a la que nosotros buscamos es alcanzado por argumentando que cualquier conjunto perfecto contiene una copia de el conjunto de Cantor $C$. Desde $|C|=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|$, esto nos da el resultado de que cualquier innumerables conjunto cerrado tiene el mismo tamaño como $\mathbb R$.
Para demostrar esto, hacemos uso recursivo de construcción: Supongamos $A$ es perfecto, por lo que tiene al menos dos puntos de $p_0$$p_1$. Deje $r=|p_1-p_0|$ ser la distancia entre el $p_0$ $p_1$ podemos encontrar pequeños intervalos de $I_0$ $I_1$ con distintos cierres que contengan $p_0$$p_1$, respectivamente. Desde $A$ es perfecto, $A\cap I_0$ debe contener al menos otros dos puntos de $p_{00}$$p_{01}$, tanto en la distancia en la mayoría de las $r/2$$p_0$, y del mismo modo, $A\cap I_1$ debe contener distintos puntos de $p_{10}$ $p{11}$ a distancia en la mayoría de las $r/2$$p_1$. Podemos encontrar intervalos disjuntos a pares de cierre, $I_{00},I_{01}\subset I_0$ contiene $p_{00},p_{01}$, respectivamente, y de manera similar para $I_1$. Continuando de esta manera, se producen puntos de $p_s$ $A$ para cada secuencia finita $s$ $0$s y $1$s de tal manera que para cada secuencia infinita $x=(x(0),x(1),\dots)$, la secuencia de $p_{x(0)},p_{x(0)x(1)},p_{x(0)x(1)x(2)},\dots$ converge. Llame a $p_x$ de su límite. Uno fácilmente se comprueba que los puntos de $p_x$ son todos distintos, y todos pertenecen a $A$.
4.
Esto da el resultado. Permítanme mencionar una extensión. Un conjunto es Borel , si es que puede ser obtenido a partir de la abierta intervalos, y cierre el marco de las operaciones contables de la unión y complementación. Un conjunto es analítica si es la imagen continua de un conjunto de Borel.
En primer lugar, uno puede comprobar fácilmente que, siempre y cuando vamos a empezar con un polaco espacio en lugar de $\mathbb R$, el dibujo de arriba pasa a través de, por lo que cualquier subconjunto cerrado de un espacio polaco es contable o del mismo tamaño como $\mathbb R$. (Recordemos que $X$ es el polaco iff es completamente metrizable separables en el espacio.)
Segundo, uno puede comprobar, a pesar de que esto toma un poco de trabajo, que cualquier analítica es la inyectiva imagen de un subconjunto cerrado del espacio polaco $\mathbb N^{\mathbb N}$. Esto significa que el resultado tiene no sólo para los conjuntos cerrados, pero en realidad para su análisis establece: Cualquier conjunto es contable, o del mismo tamaño como $\mathbb R$.
Como André señaló, uno de los principios de los enfoques propuestos para el continuo problema era discutir por algún tipo de inducción sobre la complejidad topológica de los conjuntos de reales de los que ellos son contables o de tamaño $|\mathbb R|$. El primer paso es ver esto abiertos y conjuntos cerrados, y esto fue hecho por Cantor. Los primeros resultados en el descriptivo de la teoría de conjuntos extendido este esfuerzo para incluir a todos los analíticos conjuntos por el método indicado. Más (extensiones de ir más allá de los conjuntos que nunca se muestran en el análisis) tuvo que esperar hasta la última parte del siglo xx, y que requieren grandes cardenales. Por supuesto, ahora sabemos que el "arbitrario" conjuntos de reales, no se necesita tener este conjunto perfecto de la propiedad, pero el descriptivo conjunto teórico de trabajo estoy indicando muestra que cualquier sets sin la propiedad, en esencia, son patológicos.
Oli
Puntos
89
Esto es verdad. Es una consecuencia de los teoremas de 1) Cantor / Bendixson y 2) Cantor.
1.) Cada subconjunto cerrado de$\mathbb{R}$ es la unión de un conjunto infinitamente contable y un conjunto perfecto.
2.) Un subconjunto perfecto no vacío de$\mathbb{R}$ tiene cardinalidad$c$.
Observación: Este resultado fue parte de la búsqueda de Cantor para una prueba de la hipótesis de Continuum. Las preguntas relacionadas todavía son un área activa de investigación.
