Lemma de Hensel y teorema de la función implícita

Question

En la literatura y en la web me ha ocurrido varias veces leer afirmaciones confusas o simplemente crípticas respecto al hecho de que el Lemma de Hensel es la versión algebraica del Teorema de la Función Implícita.

Intenté explicitar esta relación pero fracasé, aquí hay algunas observaciones que hice.

Una primera buena propiedad de los anillos henselianos, por tanto anillos que satisfacen el Lemma de Hensel, es que su espectro es homotópicamente equivalente a su punto cerrado en el sentido de Grothendieck. Precisamente, si $\widehat{\pi}$ es el grupo pro-fundamental de un esquema como en SGA1, entonces $\widehat{\pi}(\operatorname{Spec}(A)) \simeq \widehat{\pi}(\operatorname{Spec}(k(m))$ donde $A$ es un anillo henseliano y $k(m)$ es el campo de residuos del ideal máximo $m$ de $A$ .

Entonces pensé que los espectros de los anillos henselianos eran el tipo de "vecindarios pequeños" en los que se puede escribir una "función" explícitamente, gracias al Lemma de Hensel. Pero estoy confundido al tratar de entender qué tipo de funciones tengo que examinar.

Otra observación es que la henselianidad es exactamente la condición necesaria para un anillo local $R$ por no tener coberturas étale no triviales de $\operatorname{Spec}(R)$ que son triviales en el punto cerrado. Dado que estos recubrimientos se corresponden con álgebras ètale de $R$ Examiné esta dirección y descubrí que, para cualquier campo $k$ El $k$ -de la forma $k[x]/f(x)$ es ètale sobre $k$ sólo si $f'(x)$ es invertible en el álgebra.

También existe un criterio más complicado para álgebras ètale sobre anillos que utiliza la invertibilidad del determinante del Jacobiano de un sistema de polinomios. Esto recuerda mucho a la condición clave del Teorema de la Función Implícita, pero no sé por qué.

Aquí pongo el enlace a las páginas de wikipedia de algunos conceptos relacionados, como por ejemplo teorema de la función implícita , Anillos henselianos y Lema de Hensel . Además aquí puedes encontrar un artículo con una amplia introducción sobre los anillos henselianos.

Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

Bill Dubuque ha respondido en gran parte a la pregunta, pero sólo para ser explícito:

Supongamos que tenemos una ecuación $f(x,y) = 0$ que se desea resolver para expresar $y$ en función de $x$ . (Se trata de una situación típica del teorema de la función implícita).

Bien, el teorema de la función implícita dice que primero, debes elegir una pequeña n.h. de un punto, digamos $x = 0$ para fijar ideas. A continuación, debe elegir un valor $y_0$ de $y$ en este punto, es decir, fijar una solución para $f(y_0,0) = 0$ ; de nuevo, supongamos que podemos tomar $y_0 = 0$ . (En otras palabras, suponemos que $f(x,y)$ no tiene término constante, es decir, que $f(0,0) = 0$ .)

Ahora el teorema de la función implícita dice que podemos resolver para $y$ localmente en función de $x$ siempre que $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) \neq 0.$ (Por supuesto, hay otros supuestos técnicos --- $f$ debe ser suave y así sucesivamente; vamos a ignorar esos, ya que en un momento voy a tomar $f$ sea un polinomio).

Ahora podríamos pensar en el teorema de la función implícita para funciones analíticas, y luego para funciones formalmente analíticas, es decir, para series de potencias formales.

Así que ahora la pregunta es: dado $f(x,y) = 0$ con $f$ un polinomio sin término constante, cuando podemos encontrar una solución $y \in \mathbb C[[x]]$ sin término constante. Una condición suficiente viene dada por el lema de Hensel: se necesita que $f'(0)$ sea una unidad en $\mathbb C[[x]]$ (pensando en $f$ como un polinomio en $y$ con coeficientes en $x$ y tomando la derivada en $y$ ). Una serie de potencias formal es una unidad precisamente si su término constante es distinto de cero, por lo que esto puede reformularse como $\dfrac{\partial f}{\partial y}f(0,0) \neq 0,$ que es exactamente la misma condición que en el teorema de la función implícita.

En resumen, el lema de Hensel en el caso de un anillo formal de series de potencias es exactamente lo mismo que un teorema de función implícita (para ecuaciones polinómicas, por ejemplo) en el que sólo se piden soluciones de series de potencias formales.

Por cierto, la conexión con el método de Newton también es fácil de ver:

Supongamos que intentamos resolver $f(x,y) = 0$ para $y$ en términos de $x$ , suponiendo que $f(0,0) = 0$ y que $\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) \neq 0.$ Podemos suponer que esta última cantidad es igual a $1$ reescalando $f$ si es necesario, por lo que nuestra ecuación tiene la forma $$0 = a x + y + b x^2 + c xy + d y^2 + \cdots,$$ que podemos reescribir como $$ y = -a x - b x^2 - c x y - d y^2 + \cdots .$$ Tenga en cuenta que esto ya determina $y$ hasta términos de segundo orden. Ahora sustituyamos esta expresión por $y$ a la derecha, para obtener $$y = - a x - b x^2 - c x (- a x - b x^2 - \cdots) - d (- a x - b x^2 - \cdots)^2 + \cdots,$$ para obtener $y$ hasta términos de tercer orden. Ahora sustituyamos de nuevo, para obtener $y$ hasta términos de cuarto orden, y así sucesivamente.

Esto es sólo el método de Newton.

Este prueba Lemma de Hensel en este contexto. También es fácil estimar el tamaño de los coeficientes de la serie de potencias para $y$ que se obtiene, y demostrar que $y$ tiene un radio de convergencia positivo. Por tanto, también una versión del teorema de la función implícita para funciones analíticas con el mismo argumento.

Resumen: El teorema de la función implícita, el lema de Hensel y el método de Newton son variantes del mismo tema.

Answer 2

Esto se explica en varios lugares, por ejemplo, en el documento de Kuhlman Aspectos de la uniformización local relacionados con la teoría de la valoración y la teoría de modelos en Hauser et al. Resolución de singularidades p.389 y ss. extraídas a continuación. Encontrará pruebas completas en los enlaces que siguen al extracto. Véase también Ribenboim, Formas equivalentes del lema de Hensel Exposición. Math. 3 (1985), nº 1, 3-24.

[K2] 10.5 El lema de Hensel multidimensional, en el cap. 10, El lema de Hensel, en
Borrador de la obra de Franz-Viktor Kuhlmann libro sobre Teoría de la valoración.

[PZ] A. Prestel, M. Ziegler, Métodos teóricos de modelos en la teoría de campos topológicos.
J. Reine Angew. Math. 299(300) (1978), 318-341

Answer 3

Aunque puede que no sea exactamente el mismo resultado, puedes ver ambos principios como una forma de pasar de soluciones "locales" a soluciones "globales" para una ecuación. He aquí un esbozo muy aproximado de cómo lo veo yo (en cada caso hay que hacer algunos ajustes si quieres una afirmación rigurosa).

En primer lugar, obsérvese que el teorema de la función implícita suele formularse con una función de dos variables $x$ y $y$ (va "para todo y, hay un único x..."), pero $y$ se arreglará a lo largo así que lo omitiré. Partir de una solución "aproximada $x$ a su ecuación (en el caso del teorema implícito, se toma $(x_0, y_0)$ una solución real, y luego $(x_0, y)$ es una solución aproximada). En cada caso, se desea resolver $f(x+h) = 0$ . Ahora, cuando $h$ es "pequeño", porque $f$ es "suficientemente regular", se puede escribir

$$f(x+h) = f(x) + f'(x).h +o(h)$$

Así que la idea aproximada (o conjetura), sería que tiene solución única $f(x+h) = 0$ si $f(x) + f'(x).h = 0$ tiene una, lo que ocurriría si $f'(x)$ es invertible (si $f$ es multivariante, $f'(x)$ se entiende como la diferencial, lo que significa que es invertible cuando el jacobiano es distinto de cero). Ambos teoremas afirman más o menos que realmente funciona.