Supongamos que la función de valor real$f$ es derivable en$[0,\,1]$ con derivada limitada. ¿Cómo probamos lo siguiente? $$\int_0^1 f^2-\bigg(\int_0^1 f\bigg)^2\le \frac1{12}\sup_{x\in[0,1]}|f'(x)|^2.$ $ Intenté sustituir$f(x)^2=f(0)^2+2\int_0^x f(t)f'(t)\,dt$, pero no pareció funcionar.
Respuestas
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Tenemos \begin{align*} \left(f(x)-\int_{0}^{1}f(t)dt\right)^{2}&=\left(\int_{0}^{1}(f(x)-f(t))dt\right)^{2}\\ &=\left(\int_{0}^{1}(x-t)f'(\xi_{x,t})dt\right)^{2}\\ &\leq\|(f')^{2}\|_{\infty}\left(\int_{0}^{1}(x-t)dt\right)^{2}, \end {align*} ahora \begin{align*} \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}(x-t)dt\right)^{2}dx=\dfrac{1}{12}, \end {align*} y tener en cuenta que$\text{Var}(X)=E(X-E(X))^{2}$.
Aquí he usado una versión del teorema del valor medio: \begin{align*} \int_{a}^{b}u(x)v(x)dx=c\int_{a}^{b}u(x)dx, \end {align *} donde$m:=\inf v\leq c\leq M:=\sup v$, por lo que en este contexto, \begin{align*} \int_{0}^{1}(x-t)f'(\xi_{x,t})dt=c\int_{0}^{1}(x-t)dt, \end {align *} donde$-\sup|f'|=\inf(-|f'|)\leq\inf f'\leq c\leq\sup f'\leq\sup|f'|$, entonces$c^{2}\leq(\sup|f'|)^{2}=\sup|f'|^{2}:=\|(f')^{2}\|_{\infty}$.
user159517
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Deje$X \sim U(0,1)$, luego podemos escribir el lado izquierdo como$\mathbb{V}(f(X))$. Ahora la varianza es invariante en las traducciones, por lo que$\mathbb{V}(f(X)) = \mathbb{V}(f(X)-f(1/2))$. Esto produce \begin{align}\mathbb{V}(f(X)-f(1/2)) &= \int_{0}^{1}(f(x)-f(1/2))^2 dx - \left(\int_{0}^{1} f(x) - f(1/2)dx\right)^2 \\ &\leq \int_{0}^{1} (f'(\xi_x)(x-1/2))^2 dx \leq \sup_{x\in [0,1]}|f'(x)|^2\int_{0}^{1}(x-1/2)^2 dx \\ &= \frac{1}{12}\sup_{x\in [0,1]}|f'(x)|^2 \\ & \end {align}
