Demuestre que$\sum_{n\mathop=1}^\infty \frac 1 {n^{1+i}}$ es divergente

Question

Estoy luchando con este ejercicio de análisis:

Demuestre que$\displaystyle \sum_{n\mathop=1}^\infty \dfrac 1 {n^{1+i}}$ es divergente pero que existe el límite$\displaystyle \lim_{t \to 1^+} \sum_{n\mathop=1}^\infty \frac 1 {n^{t+i}}$.

Sé que la primera suma no es absolutamente convergente porque$\sum \frac 1 n$ diverge por la prueba integral. ¿Cómo puedo demostrar que es divergente? (es decir, no condicionalmente convergente). Apreciaría sugerencias para la segunda parte también

Answer 1

Para $s \in \mathbb{C}\setminus \{1\}$, Abel de la fórmula de la suma aplicado a $a_n = 1$ $f(x) = x^{-s}$ rendimientos

\begin{align} \sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n^s} &= \frac{\lfloor x\rfloor}{x^s} + s\int_1^x \frac{\lfloor t\rfloor}{t^{s+1}}\,dt \\ &= \frac{x - \{x\}}{x^s} + s\int_1^x \frac{t - \{t\}}{t^{s+1}}\,dt \\ &= x^{1-s} + s\int_1^x \frac{dt}{t^s} - \frac{\{x\}}{x^s} - s\int_1^x \frac{\{t\}}{t^{s+1}}\,dt \\ &= x^{1-s} + \frac{s}{s-1}\bigl(1 - x^{1-s}\bigr) - \frac{\{x\}}{x^s} - s\int_1^x \frac{\{t\}}{t^{s+1}}\,dt \\ &= \frac{x^{1-s}}{1-s} + \frac{s}{s-1} - \frac{\{x\}}{x^s} - s\int_1^x \frac{\{t\}}{t^{s+1}}\,dt\,. \end{align}

Al$\operatorname{Re} s > 0$,$\{x\}\cdot x^{-s} \to 0$, y

$$\lim_{x\to \infty} \int_1^x \frac{\{t\}}{t^{s+1}}\,dt$$

existe, por lo que la convergencia de la serie depende de si $x^{1-s}$ converge. Claramente ese es el caso, sólo para $\operatorname{Re} s > 1$. Para $\operatorname{Re} s = 1$, las sumas parciales enfoque de una limitación de círculo con un radio de $1/\operatorname{Im} s$. Por lo tanto la serie

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+i}}$$

diverge.

Para $\operatorname{Re} s > 1$, el cálculo anterior los rendimientos

$$\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - s\int_1^{\infty} \frac{\{t\}}{t^{s+1}}\,dt\,,$$

y el teorema de convergencia dominada muestra la existencia de

$$\lim_{t \to 1^+} \zeta(t+i) = 1 - i - (1+i)\int_1^{\infty} \frac{\{t\}}{t^{2+i}}\,dt\,.$$

Answer 2

Nota

ps

Concentrándonos en la parte real, tenemos para$$\frac{1}{n^{1+i}} = \frac{\cos (\ln n) - i\sin (\ln n)}{n}.$

ps

La última suma es aproximadamente

ps

Si la serie$m\in \mathbb N$ convergiera, su parte real convergería, por lo tanto, por la cringe de Cauchy, las sumas en$$\tag 1 \sum_{e^{2\pi m}< n < e^{2\pi m+\pi/4}}\frac{\cos (\ln n)}{n} >\frac{1}{\sqrt 2}\sum_{e^{2\pi m}< n < e^{2\pi m+\pi/4}}\frac{1}{n}.$ convergerían a$$\int_{e^{2\pi m}}^{e^{2\pi m}+\pi/4} \frac{dx}{x}=\frac{\pi}{4}.$ como$\sum 1/n^{1+i}$. Como no es así, $(1)$ diverge.

Por supuesto, el "aproximadamente" anterior debe ser examinado, pero todo está bien y le dejo a usted que se asegure de que sea cierto.