¿Se cumple$Var(X^2) \geq (VarX)^2$?

Question

Es bien sabido que $E(X^2) \geq (EX)^2$, pero me preguntaba si hay un resultado similar para las desviaciones, por ejemplo, es $Var(X^2) \geq (VarX)^2$?

Yo estaba haciendo un poco de investigación y me encontré con que la desigualdad, pero no puedo demostrarlo. He hecho simulaciones en R para varios conocidos distribuciones (por ejemplo, los bernoulli, binomial, poisson, normal, gamma, t, exponencial, todo por unos parámetros) y parecen mostrar que en realidad, pero no estoy seguro de si se tiene en general.

Si este no es, hay algún otro resultado que de alguna manera los vínculos $Var(X^2)$$(VarX)^2$?

EDIT: por Lo tanto, como H. H. Rugh mostró en su respuesta, que no puede retener en general, pero a menudo lo hace. Todavía estoy interesado en una referencia a un resultado diferente que le da un cierto vínculo entre las dos expresiones, o tal vez algunas de las condiciones suficientes para que la desigualdad, etc.

Answer 1

Buena pregunta. No puede mantenerse en general, ya que puede tomar un rv con valores en, por ejemplo,$\pm 1$, para lo cual$\text{var}(X^2)=0 < \text{var}(X)^2$.

Pero numéricamente parece contener cuando$X$ es sign-definitite, por ejemplo,$X\geq 0$ como (de acuerdo con sus simulaciones).

Answer 2

Déjame probar H. H. Rugh's de la predicción de que la desigualdad se cumple si

$$ \mathsf{P}(X \geq 0) = 1 \qquad \text{and}\qquad \mathsf{E}[X^4] < \infty. $$

Deje $Y \stackrel{d}{=} X$ ser una copia independiente de $X$. A continuación, observe que

$$ 2\mathsf{Var}(X) = \mathsf{E}[(X - Y)^2] \qquad \text{and} \qquad 2\mathsf{Var}(X^2) = \mathsf{E}[(X^2-Y^2)^2]. $$

Ahora desde $X+Y \geq |X-Y|$, si fijamos $Z = (X-Y)^2$

$$ 2\mathsf{Var}(X^2) = \mathsf{E}[(X-Y)^2(X+Y)^2] \geq \mathsf{E}[Z^2] \geq \mathsf{E}[Z]^2 = 4\mathsf{Var}(X)^2. $$

Este hecho demuestra una fuerte desigualdad de $ \mathsf{Var}(X^2) \geq 2\mathsf{Var}(X)^2$.

---

Adenda. Aquí es un resultado óptimo de este tipo:

La reclamación. Si $X \geq 0$.s. y $\mathsf{E}[X^4] < \infty$, luego tenemos

$$\mathsf{Var}(X^2) \geq 4 \mathsf{Var}(X)^2.$$

La igualdad ocurre si, y sólo si $X$ es constante o un múltiplo de la distribución de Bernoulli de parámetro $\frac{1}{2}$.

Prueba. Deje $\mu = \mathsf{E}X = \mathsf{E}Y$ denotar la expectativa común de $X$$Y$. Después de que la anterior cálculo, nos encontramos con que

\begin{align*} \mathsf{Var}(X^2) &= \frac{1}{2}\mathsf{E}[(X-Y)^2(X+Y)^2] \geq \frac{1}{2}\mathsf{E}[(X-Y)^4] \tag{1} \\ &= \frac{1}{2}\mathsf{E}[((X-\mu)-(Y-\mu))^4] = \mathsf{E}[(X-\mu)^4] + 3\mathsf{Var}(X)^2 \\ &\geq 4\mathsf{Var}(X)^2. \tag{2} \end{align*}

En orden para que esto sea una igualdad, tenemos que $\text{(1)}$ $\text{(2)}$ se convierte en la igualdad. Para evitar complicaciones innecesarias, asumir WLOG que $X$ no es constante.

En $\text{(1)}$, debemos tener $(X+Y)^2 = (X-Y)^2$ siempre $X \neq Y$. Equivalentemente, $XY = 0$ debe mantener siempre $X \neq Y$. Esto obliga a que hay más de un valor distinto de cero que $X$ puede alcanzar. De hecho, si hay dos distintos conjuntos de Borel $B_1, B_2 \subseteq (0, \infty)$ tal que $\mathsf{P}(X \in B_i) > 0$$i = 1, 2$, entonces tenemos que tener en

$$0 = \mathsf{P}(XY \neq 0, X\neq Y) \geq \mathsf{P}(X \in B_1)\mathsf{P}(Y \in B_2) > 0, $$

una contradicción. De modo que existe $c > 0$ tal que $\mathsf{P}(X = c) = p \in (0, 1)$$\mathsf{P}(X = 0) = 1-p$. Entonces

$$ \mathsf{Var}(X^2) = c^4 p(1-p) \qquad \text{and} \qquad 4\mathsf{Var}(X)^2 = 4c^4 p^2(1-p)^2. $$

Para estos coincidir, debemos tener $p = \frac{1}{2}$. ////

Answer 3

Deje $\langle\cdot\rangle$ representa la expectativa de $\cdot$. Deje $X=x_0+x$ donde $x_0=\langle X\rangle$. Su desigualdad es equivalente a $$2\langle x^2\rangle^2\le (2x_0)^2\langle x^2\rangle+4x_0\langle x^3\rangle+\langle x^4\rangle. \tag1$$ Al $x_0=0$, Cauchy-Schwartz desigualdad $\langle x^2\rangle^2\le\langle x^4\rangle$ elimina una gran cantidad de variables aleatorias para que $x^2$ está cerca de una constante positiva, pero permite que el resto de satisfacer deseada de la desigualdad.

Sin embargo, para un fijo $x$, usted puede ajustar el $x_0$ a tienen el mismo signo de $\langle x^3\rangle$ y suficientemente grande en valor absoluto, de modo que el lado derecho de la $(1)$ es arbitrariamente grande, por lo que su deseada de la desigualdad se mantiene.

Answer 4

De la media de cero distribuciones, la desigualdad de $\text{Var}(X^2)\geq\text{Var}(X)^2$ mantiene cuando la distribución no es demasiado "platykurtic". "La mayoría de las" distribuciones continuas, es decir, los que nos suele venir a través en un estándar de la probabilidad o estadística curso, se mesokurtic o leptokurtic. Una suficientemente platykurtic de distribución va a romper la desigualdad. Intuitivamente, esto significa que la distribución es lo suficientemente "plana" con poco o ningún peso en sus colas. Un simétrica discretas distribución bimodal hace el truco, como se muestra en otra respuesta (no tiene colas), así que hace una media de cero simétrica continua de la distribución uniforme. Nada, con una media de cero y un exceso de curtosis menos de $-1$ obras. El exceso de curtosis se define como $$\frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}-3.$$

Los momentos, por ejemplo,$E(X^n)$, generalmente determinar la distribución (no siempre, a ver esta aclaración respecto a eso), y que puede ser entendido como describe la forma de la distribución, es decir, donde la masa está concentrada, relativamente. Podemos establecer en forma efectiva los momentos como deseamos (permanecer dentro de ciertas restricciones, por ejemplo, no constituye la violación de la desigualdad de Jensen, etc.) y así, hemos definido una distribución.

En general, para cualquier distribución arbitraria con finito media y la varianza, si tenemos en cuenta $\mu=E(X)$ $\sigma^2=\text{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]$ a los parámetros de la distribución, a continuación, romper la desigualdad requiere $$E(X^4)<\mu^4+2\mu^2\sigma^2+\color{red}{2}\sigma^4. \tag1$$

Nota de la red $2$ ya que sin él, tenemos $$\mu^4+2\mu^2\sigma^2+\sigma^4\leq E(X^4).$$

Para $\mu=0$, tenemos que la desigualdad se rompe cuando $$1\leq \frac{E(X^4)}{\sigma^4} < 2.$$

Tenga en cuenta que $\frac{E(X^4)}{\sigma^4}=3$ para la media de cero distribución Normal. Cualquier distribución, donde esta proporción es de 3 se llama "mesokurtic". Una distribución donde esta proporción es mayor que 3 se llama "leptokurtic" y se dice que tiene "más peso en las colas que en el centro". Cuando es menor a 3, es el llamado "platykurtic". Yo diría que estos últimos son más raros en la práctica, pero un montón de ejemplos abundan.

Teóricamente, para obtener una distribución que rompe con la desigualdad, que acaba de establecer la media y la varianza de cero y uno, respectivamente, y establecer $E(X^4)$ a nada en $[1,2)$. A continuación, establezca los otros momentos a lo que usted desea, y usted tiene un ejemplo. Por supuesto, la configuración de los momentos que no necesariamente nos ayudan a ver lo que el PDF se vería.