¿Cuándo comienzan los colonizadores a casarse con primos?

Question

Supongamos que un grupo de seres humanos, con $n$ hombres y $n$ mujeres, coloniza otro planeta. Supongo que todo el par de la manera habitual, y cada pareja tiene dos hijos, un niño y una niña. Luego el proceso se repite.

Pregunta: ¿cuántas generaciones puede pasar antes de que alguien tiene que casarse con su primo?

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EDITAR:

Para aclarar:

• Cada uno de los miembros de una generación se casa con alguien de la misma generación.
• Suponemos que los primeros colonos están todos relacionados.
• Nadie se casa con su hermano, aunque si se ampliara la definición de "primo" para incluir "cualquier persona que comparte un ancestro común", entonces usted no necesita hacer esta suposición. (Así que en la luz del punto anterior, la pregunta puede ser reformulado "Cómo muchas generaciones puede pasar antes de que alguien se casa con un pariente.")

Answer 1

Si nadie se casa con un familiar durante la primera $k$ generaciones, entonces todo el mundo en la próxima generación tendrá $2^k$ antepasados de la primera generación, los cuales deben ser distintos. Así que debemos tener $2^k\leq 2n$.

Si $2n$ es una potencia de $2$, decir $2n=2^k$, entonces usted puede tener $k$ iteraciones sin que nadie se casara con un familiar. Empezar de con $2^k$ de los grupos familiares de $2^0$ personas cada uno; par de grupos y de todos los casarse con alguien de la pareja de grupo, lo que resulta en $2^{k-1}$ grupos de $2^1$ personas cada uno en la siguiente generación. Continuar de esta manera, así que después de $j$ generaciones ha $2^{k-j}$ de los grupos familiares de $2^j$ personas cada una, con diferentes grupos no relacionados. (Después de la primera generación, cada grupo tiene el mismo número de individuos de cada sexo, por lo que el emparejamiento se puede hacer ok.)

Si $2n$ no es una potencia de $2$ usted tendrá que trabajar un poco más para conseguir una construcción de $\lfloor\log_2(2n)\rfloor$ generaciones, pero me imagino que es posible.

Answer 2

En la primera generación, cada persona tiene un ancestro de un sexo dado. En el segundo, dos, en el tercero, cuatro. En la generación$k^{th}$,$2^k$. Los dos que se casarán tendrán que tener opciones de$2\cdot 2^k=2^{k+1}$ para los antepasados. Tan pronto como$2^{k+1} \gt n$ tendrá que tener a alguien casarse con un primo, lo que sucede cuando$k \gt \log_2 n -1$