Demuestra lo siguiente para la expresión dada

Question

Considere la ecuación $$\frac{\pi ^e}{(x-e)} + \frac{e^{\pi}}{(x-\pi)} + \frac{\pi^{\pi}+e^e}{(x-e-\pi)}=0$$ Demostrar que

1) Esta ecuación tiene dos raíces reales en $(\pi-e, \pi +e) $

2) Esta ecuación tiene una raíz real en $(e,\pi)$ y otra raíz en $(\pi, e+\pi)$

Mi enfoque: Dejar que $$f(x)=\frac{\pi ^e}{(x-e)} + \frac{e^{\pi}}{(x-\pi)} + \frac{\pi^{\pi}+e^e}{(x-e-\pi)}$$ . Entonces traté de encontrar la señal de $f(\pi-e)f(\pi +e)$ para comprobar su signo y demostrar la primera parte. Pero esto me da una ecuación muy tediosa de la que es difícil determinar el signo. Además $f(\pi +e)$ crea un 0 en el denominador en el tercer término.Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Edición 1: ¿Puede alguien demostrar esto usando las propiedades y fundamentos sólo de los polinomios. Sé que las matemáticas están pensadas para aprender lo que no se entiende, pero en este momento quiero saber si esta cuestión se puede resolver utilizando sólo los fundamentos del álgebra y los polinomios sin utilizar el cálculo

Answer 1

Multiplicando el denominador por el numerador obtenemos:

$$f(x)=\pi^e(x-\pi)(x-e-\pi)+e^\pi(x-e)(x-e-\pi)+(\pi^\pi+e^e)(x-e)(x-\pi)$$

Te mostraré cómo probar la parte de $(e,\pi)$ Las demás pruebas son similares. Esta prueba no utiliza ninguna fórmula cuadrática compleja ni ningún cálculo aritmético difícil.

Toma $x_1=e+h$ , donde $h$ es un número muy pequeño $\approx10^{-20}>0$ . Calcula

$$f(x_1)=\color{green}{\pi^e(e-\pi+h)(-\pi+h)}+\color{blue}{e^\pi(h)(-\pi+h)}+\color{blue}{(\pi^\pi+e^e)(h)(e-\pi+h)}$$

Desde $h$ es muy muy pequeño, casi podemos equiparar $\color{blue}{h\cdot\text{constant value}\approx0}$ y $\color{green}{\text{constant}+h\approx\text{constant}}$ . Por lo tanto, obtenemos: $$f(x_1)\approx\pi^e(e-\pi)(-\pi)>0$$

Ahora, toma $x_2=\pi-h$ . Informática $f(x_2)$ por una lógica similar, obtenemos: $$f(x_2)=e^\pi(\pi-e)(-e)<0$$

Desde $f(x)$ ha cambiado de signo en el intervalo $(e,\pi)$ esto implica que debe haber cruzado el eje x en algún $x_0\in(e,\pi)$ ya que es una función continua. Por lo tanto, $f(x_0)=0$ y por lo tanto $f(x)$ tiene una raíz en $(e,\pi)$ .

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Para la primera prueba, tendrás que romper el intervalo dado de $(\pi-e,\pi+e)$ a un valor adecuado de $x'$ . A continuación, utilice la misma lógica descrita anteriormente, para demostrar la existencia de una raíz real cada en $(\pi-e,x')$ y $(x',\pi+e)$ para un total de dos raíces reales.

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¿Puedes resolver esto por tu cuenta a partir de ahora?

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PS : (ya que has mencionado que no tienes mucha experiencia en límites) La técnica de tomar $h$ es esencialmente yo mostrando cómo tomar los límites de la mano izquierda y los límites de la mano derecha de $f(x)$ sin mencionar realmente la terminología de miedo! ;)

Answer 2

multiplicar el término $$\pi^e(x-\pi)(x-e-\pi)+e^\pi(x-e)(x-e-\pi)+(\pi^\pi+e^e)(x-e)(x-\pi)=...$$ Bien, entonces considere $$f(x)=\frac{\pi^e}{x-e}+\frac{e^\pi}{x-\pi}+\frac{\pi^\pi+e^e}{x-e-\pi}$$ y calcular $$f(\pi-e)\approx -27.7935443004972883808036072099123560713149915<0$$ y $$\lim_{x \to \pi+e}f(x)=+\infty$$

Answer 3

Dejemos que $x\notin\{e,\pi,e+\pi\}$ y multiplicando ambos lados por $(x-e)(x-\pi)(x-e-\pi)$ da $$(x-e)(x-\pi)(x-e-\pi)f(x)=g(x)$$ donde $$g(x):=\pi^e(x-\pi)(x-e-\pi)+e^\pi(x-e)(x-e-\pi)+(\pi^\pi+e^e)(x-e)(x-\pi)$$ Claramente $g(x)$ es un polinomio de grado dos y, por tanto, un polinomio cuadrático. Además, los coeficientes son todos reales, por lo que si una raíz de $g(x)$ es real el otro debe serlo también. Ahora puedes hacer una comprobación de signos de $g(x)$ . Dado que excluimos $e,\pi,e+\pi$ sólo se nos permite acercarnos a estos valores en nuestro argumento. Así que si $x$ está cerca de $e$ del lado derecho el segundo y tercer término son despreciables ya que $x-e$ se hace cada vez más pequeño, casi cero. Así que el primer término domina. Como $e<\pi$ entonces $g(x)>0$ para $x$ cerca de $e$ . Del mismo modo, nos acercamos a $\pi$ desde la izquierda. De nuevo, el primer y el tercer término se vuelven insignificantes, por lo que domina el término medio. Como $\pi>e$ entonces $g(x)<0$ para $x$ cerca de $\pi$ . Pero $g(x)$ es un polinomio por lo que es una función continua por lo que existe alguna $x_1\in(e,\pi)$ donde $g(x_1)=0$ (por el Teorema del Valor Intermedio). El mismo análisis para el intervalo $(\pi,e+\pi)$ . Estas son las dos únicas raíces de $g(x)$ . Pero a partir de la ecuación principal que relaciona $f(x)$ y $g(x)$ entonces se deduce que efectivamente estas son las raíces también para $f(x)$ .

Answer 4

Dejemos que $f(x)=\frac{\pi ^e}{(x-e)} + \frac{e^{\pi}}{(x-\pi)} + \frac{\pi^{\pi}+e^e}{(x-e-\pi)}.$

Así, $f$ es una función continua en $(\pi,\pi+e)$ y en $(e,\pi)$ y calcular cuatro límites de $f$ en estos límites.

Por ejemplo, $$\lim_{x\rightarrow\pi+e^-}f(x)=-\infty$$ y $$\lim_{x\rightarrow\pi^+}f(x)=+\infty$$

Answer 5

Primero, multiplicamos la expresión por cada uno de los denominadores para reescribir la expresión como $\pi^e(x-\pi)(x-e-\pi)+e^\pi(x-e)(x-e-\pi) + (\pi^{\pi}+e^e)(x-e)(x-\pi)=0$ donde $x$ no es $e, \pi$ o $e + \pi$ (ya que la expresión original no está definida para esos valores). Llama a ese polinomio $g(x)$ . Cuando este polinomio tiene una raíz que no es $e, \pi$ o $e + \pi$ , entonces dicha raíz es una solución de la ecuación original. Así que vamos a utilizar esto para responder a las preguntas (tenga en cuenta que $\pi > e > \pi - e$ ):

1) Si tenemos la parte 2 entonces la parte 1 se deduce ya que si tenemos una solución en $(e,\pi)$ y otra solución en $(\pi,e+\pi)$ entonces las dos soluciones están contenidas en $(e,e+\pi)$ que es un subconjunto de $(\pi-e,\pi+e)$ desde $e>\pi-e$ .

2) Observe que:

• $g(e) = \pi^e(e-\pi)(-\pi)>0$
• $g(\pi) = e^\pi(\pi - e)(-e)<0$
• $g(e + \pi) = (\pi^{\pi}+e^e)(\pi)(e)>0$

Así que $g(x)$ debe ser $0$ para algunos $x$ en $(e,\pi)$ y por otro $x$ en $(\pi,e+\pi)$ . Nótese que ninguna de estas soluciones es $e, \pi$ o $e + \pi$ según sea necesario.