Calculando

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente suma:

$$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n \sin(n)}{n}$$

Pero estoy teniendo problemas para conseguir en cualquier lugar. Wolphram Alpha indica alguna estrategia que utiliza logaritmos complejos para encontrar la respuesta, que parece ser $-0.5$.

¿Alguien sabe una buena estrategia aquí?

Answer 1

Corriendo con mi comentario inicial, resulta que hay una manera de hacer que esta estrategia de trabajo.

Considere la función $s(x) = x/\pi$ al $x \in (- \pi, \pi)$, y extender esta función periódica de período de $2 \pi$ en toda la recta real. Esta función es seccionalmente suave, por lo que tiene una serie de Fourier, que se calcula en este enlace de wikipedia. El resultado de la serie es $$s(x) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}\sin(nx)}{n} = -\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\sin(nx)}{n}$$

Que es un número de veces su suma. Denota esta suma como $S(x)$, y la evaluación de $s(x)$$1$, obtenemos $\frac{1}{\pi}$, lo $$s(1) = -\frac{2}{\pi}S(1) = \frac{1}{\pi}$$

Esto implica que la respuesta Wolfram Alpha dio!

Answer 2

Utilizando

$$\sin(x) = \Im( \exp(i x))\tag{1}$$

y $|z|\le 1, z\ne 1$

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n z^n/n=-\log(1+z)\tag{2}$$

podemos escribir

$$\begin{align} &s = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin(n) / n \\ &= \Im\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \exp(i\; n) / n \\ &= - \Im \log (1+\exp(i))\\ & = - \frac{1} {2i}\left( \log (1+\exp(i))- \log (1+\exp(-i))\right)\\ &= - \frac{1} {2i} \log \left(\frac{ 1+\exp(i)}{1+\exp(-i)}\right)\\ &= - \frac{1} {2i} \log \left(\exp(i)\frac{ 1+\exp(i)}{\exp(i)+1}\right)\\ &= - \frac{1} {2i} \log \left(\exp(i)\right)\\ &= - \frac{1} {2i} i = -\frac{1}{2} \end {Alinee el} $$

Pregunta adicional:

Calcular la expresión explícita para la suma con $\sin$ sustituido por $\cos$

Answer 3

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en directo, el primer año de cálculo metodologías. Para ello vamos a proceder.

---

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n\sin(n)}{n}&=\int_0^1 \sum_{n=1}^N (-1)^n\cos(nx)\,dx\\\\ &=\int_0^1 \frac12 \left((-1)^N\cos((N+1)x)+(-1)^N\tan(x/2) \sin((N+1)x)-1\right) \,dx\tag1\\\\ &=-\frac12 +\frac12(-1)^N\,\frac{\sin(N+1)}{N+1}+\frac12(-1)^N\int_0^1 \tan(x/2)\sin((N+1)x)\,dx\tag2\\\\ &=-\frac12 +\frac12(-1)^N\,\frac{\sin(N+1)}{N+1}\\\\&+\frac12(-1)^N\left(-\frac{\tan(1/2)\cos((N+1))}{N+1}+\frac{1}{2(N+1)}\int_0^1 \sec^2(x/2)\cos((N+1)x)\,dx\right)\tag3 \end{align}$$

---

En llegando a $(1)$ hemos utilizado el hecho de que $\cos(nx)=\text{Re}(e^{inx})$, a continuación se suman la serie geométrica $\sum_{n=1}^N (-e^{ix})^n$ y tomó la parte real.

En lo que va de $(2)$ $(3)$integramos por partes con $u=\tan(x/2)$$v=-\frac{\cos((N+1)x)}{N+1}$.

---

Tomando el límite cuando $N\to \infty$ $(3)$ revela

$$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\sin(n)}{n}&=\lim_{N\to \infty}\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n\sin(n)}{n}\\\\ &=-\frac12 \end{align}$$

Y hemos terminado!

Herramientas Utilizadas:la fórmula de Euler, la suma de una serie geométrica, y la integración por partes.

Answer 4

Para cualquier $|z|<1$ tenemos $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n z^n}{n}=-\log(1+z)$, por lo tanto escogiendo $z=e^{-u}e^{i}$ $u>0$ nos $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n e^{-nu}\sin(n)}{n} = -\text{Im}\log(1+e^{-u}e^{i})=-\text{Arg}(e^u+e^{i}). $ $ el % de secuencias $\{\sin n\}_{n\geq 1}$y $\{(-1)^n \sin n\}_{n\geq 1}$ han limitado las sumas parciales, por lo tanto, por suma de partes nos permite indicar %#% $ #%