Encontrar el límite de $\lim_{x\to0}{\frac{\ln(1+e^x)-\ln2}{x}}$ sin L ' Hospital ' regla s

Question

Tengo que encontrar: $$\lim_{x\to0}{\frac{\ln(1+e^x)-\ln2}{x}}$ $ y quiero calcular sin utilizar la regla de L'Hospital. L'Hospital sé que da $1/2$. ¿Alguna idea?

Answer 1

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que no se basa en el cálculo diferencial, sino que utiliza el teorema del sándwich y un conjunto de desigualdades que se pueden obtener con pre-cálculo sólo herramientas. A fin de proceder.

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En primer lugar observamos que en ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial, junto con la Desigualdad de Bernoulli que el logaritmo y exponencial funciones satisfacen las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1\tag 1$$

y para $x<1$

$$1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}\tag2$$

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Siguiente, tenga en cuenta que $\log(1+e^x)-\log(2)=\log\left(\frac{e^x+1}2\right)$. Por lo tanto, la aplicación de $(1)$, podemos afirmar que

$$\frac{e^x -1}{e^x +1}\le \log(1+e^x)-\log(2)\le \frac{e^x-1}2\tag3$$

Entonces, aplicando $(2)$ $(3)$revela

$$\frac{x}{e^x +1}\le \log(1+e^x)-\log(2)\le \frac{x}{2(1-x)}\tag4$$

Dividiendo $(4)$$x$, dejando $x\to 0$, y aplicando el teorema del encaje de los rendimientos de la codiciada límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+e^x)-\log(2)}{x}=\frac12}$$

Herramientas Utilizadas: Las desigualdades en $(1)$ $(2)$ y el teorema del sándwich.

Answer 2

Simplemente distinguir $f(x)=\ln(e^x +1)$ en el punto de abscisa $x=0$ y obtendrás la respuesta. de hecho esta es la definición del derivado de $f$!!

Answer 3

Que $y = e^x$

$$L = \lim_{x\to0}{\frac{\ln(1+e^x)-\ln2}{x}} = \lim_{y\to1}{\frac{\ln(1+y)-\ln2}{\ln y}}$$

Que $z = y -1$

$$L = \lim_{z\to0}{\frac{\ln(z + 2)-\ln2}{\ln(z+1)}} = \dfrac12\lim_{z\to0}\frac{\ln(z/2 + 1)}{z/2}\dfrac{z}{\ln(z+1)}= \dfrac12$$

Answer 4

Esto es sólo el derivado de $\ln\left(\frac{e^x+1}2\right)$ $0$, que es $\frac12$.

Answer 5

Es sólo el derivado de $\ln\left(e^x+1\right)$ $0$.

Si no verlo, por serie de Taylor:

$${\frac{\ln(1+e^x)-\ln2}{x}}={\frac{\ln(2+x+o(x))-\ln2}{x}}=\frac{\ln(1+\frac{x}{2}+o(x))}{x}=\frac{\frac{x}{2}+o(x)}{x}=\frac12+o(1)\to\frac12$$