Adición de números ordinales de entrelazado

Question

Dado ordinales $\alpha,\beta$, una definición de la $\alpha+\beta$ es como el tipo de orden de la inconexión de la unión de $\alpha\sqcup\beta$ ordenado con todos los elementos de a $\alpha$ antes de los elementos de $\beta$. Pero esto parece sólo un punto sobre un espectro de posibles pedidos, en donde tal vez usted entrelazado $\alpha$ $\beta$ en el pedido. Esto motiva la siguiente definición:

Deje $S:=S_{\alpha,\beta}$ ser la colección de tipos de orden de pedidos $\prec$ $\alpha\sqcup\beta$ satisfacción $x\prec y\leftrightarrow x<y$ todos los $x,y\in\alpha$, y para todos los $x,y\in\beta$.

Me gustaría caracterizar este conjunto. Algunas observaciones y resultados parciales:

• Obviamente $\alpha+\beta\in S$$\beta+\alpha\in S$, y, además, $\alpha_1+\beta+\alpha_2\in S$ al $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$, y lo mismo para otros finito descomposiciones aditivas de $\alpha$$\beta$.
• Lo que los límites superior e inferior podemos encontrar en los elementos de $S$? Si $\sigma\in S$, $\max(\alpha,\beta)\le\sigma$ debido a que tanto $\alpha$ $\beta$ fin de inyectar en $\sigma$. Hay, por supuesto, también el trivial límite superior $\sigma<|\alpha+\beta|^+$.
• El caso finito $\alpha=m$, $\beta=n$ es trivial - $S=\{m+n\}$, pero si $\alpha=n$ $\beta$ es infinito,$S=[\beta,\beta+n]$, porque se puede "ocultar" algunos elementos de $\alpha$ detrás de la primera copia de $\omega$ $\beta$ y el resto después. Pero incluso demostrando $S\subseteq [\beta,\beta+n]$ en este caso sencillo, parece ser un poco complicado.
• El cofinality de $\sigma\in S$ es determinado por el subconjuntos $A\cup B=\sigma$ (donde $A$ $B$ son disjuntas copias de $\alpha$$\beta$$\sigma$). Si $\sup A<\sup B$,$\operatorname{cf}\sigma=\operatorname{cf}\beta$. Si $\sup A=\sup B$,$\operatorname{cf}\alpha=\operatorname{cf}\beta=\operatorname{cf}\sigma$. Por lo tanto $\operatorname{cf}\sigma\in\{\operatorname{cf}\alpha,\operatorname{cf}\beta\}$ todos los $\sigma\in S$.

Answer 1

La manera de lidiar con este problema es buscar en la descomposición de los $\alpha$ $\beta$ en términos de indecomposables (es decir, los poderes de $\omega$), es decir, consideramos que la forma normal de Cantor de ambos números ordinales.

Por ejemplo, considere el$\omega^3+\omega+2$$\omega^2+5$. El único orden que se pueden formar a partir de ellos se $\omega^3+\omega+n$ $n=2,\dots,7$, $\omega^3+\omega^2+\omega+n$ para $n=2,\dots,7$, e $\omega^3+\omega^2+m$$m=5,6,7$.

El punto es que un ordinal $\gamma$ ser una potencia de $\omega$ es equivalente al hecho de que si $\gamma=\delta+\epsilon$, $\epsilon=0$ o $\gamma$. En el orden que usted está considerando, que se está dividiendo cada indecomposable $\gamma$ mencionado en el Cantor de formas normales de $\alpha$ $\beta$ como una suma, y el intercalado de las piezas.

Este problema ha sido considerado antes. La clave de referencia es

MR0065907 (16,502 una). Toulmin, G. H. Arrastrando los pies ordinales y transfinito de dimensiones. Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 4, (1954). 177-195.

Toulmin dice que un ordinal $\gamma$ es un shuffle de dos ordinales $\alpha$ $\beta$ si y sólo si $\gamma$ puede ser escrito como una discontinuo de la unión de $\gamma=A\cup B$ donde $A$ es de orden tipo de $\alpha$ $B$ es de orden tipo de $\beta$. Esto es precisamente lo que ustedes llaman un entrelazado suma.

Entre otros, se demuestra que el número de ordinales que se baraja de $\alpha$ $\beta$ es finito (ver Teorema 1.38 en Toulmin del papel, que describe todos los ordinales $S_{\alpha,\beta}$).

La mayor shuffle es el Hessenberg natural de la suma (que es conmutativa), donde el indecomposable términos en el Cantor sumas de $\alpha$ $\beta$ están organizados en orden decreciente: Decir que $$\alpha=\omega^{a_1}n_1+\dots+\omega^{a_k}n_k$$ and $$\beta=\omega^{a_1}m_1+\dots+\omega^{a_k}m_k,$$ donde $a_1>a_2>\dots>a_k$ son ordinales y el $n_i$ $m_i$ son números naturales (posiblemente cero). Usando esta notación, la Hessenberg suma de $\alpha$ $\beta$ $$\alpha\#\beta=\omega^{a_1}(n_1+m_1)+\dots+\omega^{a_k}(n_k+m_k).$$ El más pequeño shuffle puede ser descrito de la siguiente manera: Vamos a $\alpha=\alpha_1+\alpha_2$ donde $\alpha_1$ es cero o un límite ordinal y $\alpha_2$ es finito, y definir $\beta=\beta_1+\beta_2$ de forma análoga. A continuación, el más pequeño movimiento de $\alpha$ $\beta$ (la suma menor, en Toulmin de la terminología), es

• $\alpha$ si $\alpha_1>\beta_1$,
• $\alpha+\beta_2=\beta+\alpha_2$ si $\alpha_1=\beta_1$, y
• $\beta$ si $\alpha_1<\beta_1$.

Hay una referencia anterior tratando con un relacionado, pero diferente problema:

MR0005878 (3,225 dólares una). Carruth, Philip W. Aritmética de los números ordinales con aplicaciones a la teoría de la ordenó Abelian grupos. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 48, (1942), 262-271.

Carruth se centra en lo que él llama natural sumas (Lipparini se refiere a ellos como "mezcla de sumas de dinero", para evitar la confusión con el Hessenberg suma, que generalmente es llamado también el natural de la suma). Él describe natural sumas axiomáticamente: Una operación binaria $\oplus$ en los ordinales es un natural de la suma si y sólo si satisface las siguientes propiedades:

1. $\oplus$ es conmutativa y asociativa.
2. Para cualquier $\alpha$, $\alpha\oplus 0=\alpha$.
3. Para cualquier ordinales $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$, $\alpha<\beta$ si y sólo si $\alpha\oplus\gamma<\beta\oplus\gamma$.

Se procede a demostrar que el menor natural de la suma es el Hessenberg suma, y a lo largo del camino también muestra que la Hessenberg suma es el más grande de shuffle.

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(En realidad, fue útil para ver esta pregunta, ya que me ayudó a organizar lo que Carruth del papel. Aprendí de él a través de otro artículo en el que sugería Carruth de papel, sólo trata de la baraja.)